Question

如圖，在直角坐標系中，O為原點，B（5，0），M為梯形OBCD底邊OB上的一點，OM＜3，OD=BC=2，∠DMC=∠DOM=60°．
（1）求點C的坐標；
（2）求點M的坐標；
（3）∠DMC繞點M順時針旋轉α（α為銳角）后，得到∠D₁MC₁，射線M D₁交直線DC于點E，射線MC₁交直線BC于點F，設DE=m，BF=n，求m與n的函數關系式．

Answer 1

【答案】分析：（1）過點D作DA⊥OB，垂足為A．利用三角函數可求得，點D的坐標為（1，），進而得出C點坐標；
（2）先證明△ODM∽△BMC．得，所以OD•BC=BM•OM．設OM=x，則BM=5-x，得2×2=x（5-x），解得x的值，即可求得M點坐標；
（3）（Ⅰ）當M點坐標為（1，0）時，如圖2，OM=1，BM=4．先求得DME∽△CMF，所以，
可得CF=2DE．所以2-n=2m，即m=1-．（Ⅱ）當M點坐標為（4，0）時，OM=4，由OM＜3，得出不合題意，舍去．
解答：解：（1）過點D作DA⊥OB，垂足為A．CN⊥OB，如圖1，
在Rt△ODA中，∠DAO=90°，∠DOB=60°，
∴DA=OD•sin∠DOB=，
OA=OD•cos∠DOB=1，
∴點D的坐標為（1，），
∴AO=1，BN=1，
∴點C的坐標為：（4，）；

（2）∵∠CBM+∠CMB+∠MCB=180°，
∠DMC+∠MDC+∠DCM=180°，
∠DOB=∠CBM=∠DMC=60°，
∴∠CMB+∠MCB=∠MDC+∠DCM，
∵∠OMD+∠DMC+∠BMC=180°，∠CDM=∠DMO，∠CMB=∠DCM，
∴∠MDC=∠DMO=∠MCB，
∴△ODM∽△BMC，
∴，
∴OD•BC=BM•OM，
∵B點為（5，0），
∴OB=5．
設OM=x，則BM=5-x，
∵OD=BC=2，
∴2×2=x（5-x），
解得x₁=1，x₂=4，
∵OM＜3，
∴OM=4舍去，
∴M點坐標為（1，0）；

（3）（Ⅰ）當M點坐標為（1，0）時，如圖2，
OM=1，BM=4．
∵DC∥OB，
∴∠MDE=∠DMO，
又∵∠DMO=∠MCB，
∴∠MDE=∠MCB，
∵∠DME=∠CMF=α，
∴△DME∽△CMF，
∴，
∴CF=2DE，
∵CF=2-n，DE=m，
∴2-n=2m，即m=1-；
（Ⅱ）當M點坐標為（4，0）時，如圖3，
∵OM＜3，
∴M點坐標為（4，0）時，不合題意，舍去．
點評：此題主要考查了函數和幾何圖形的綜合運用，其涉及的知識點比較多．解題的關鍵是會靈活的運用函數圖象的性質和交點的意義結合梯形的性質利用相似比中的成比例線段作為相等關系求線段之間的等量關系．試題中貫穿了方程思想和數形結合的思想，請注意體會．