Question

探索與證明：
（1）如圖1，直線m經過正三角形ABC的頂點A，在直線m上取兩點 D，E，使得∠ADB=60°，∠AEC=60°．通過觀察或測量，猜想線段BD，CE與DE之間滿足的數量關系，并予以證明；
（2）將（1）中的直線m繞著點A逆時針方向旋轉一個角度到如圖2的位置，并使∠ADB=120°，∠AEC=120°．通過觀察或測量，猜想線段BD，CE與DE之間滿足的數量關系，并予以證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）通過證明△DAB≌△ECA（AAS），∴AD=CE，BD=AE，從而證得BD+CE=AE+AD=DE：
（2）通過△DAB≌△ECA（AAS），∴AD=CE，BD=AE，從而證得CE-BD=AD-AE=DE．
解答：解：（1）猜想：BD+CE=DE．（1分）
證明：由已知條件可知：∠DAB+∠CAE=120°，∠ECA+∠CAE=120°，
∴∠DAB=∠ECA．
在△DAB和△ECA中，∠ADB=∠AEC=60°，∠DAB=∠ECA，AB=CA，
∴△DAB≌△ECA（AAS）．
∴AD=CE，BD=AE．
∴BD+CE=AE+AD=DE．（5分）

（2）猜想：CE-BD=DE．（6分）
證明：由已知條件可知：∠DAB+∠CAE=60°，∠ECA+∠CAE=60°，
∴∠DAB=∠ECA．
在△DAB和△ECA中，∠ADB=∠AEC=120°，∠DAB=∠ECA，AB=CA，
∴△DAB≌△ECA（AAS）．
∴AD=CE，BD=AE．
∴CE-BD=AD-AE=DE．（10分）
點評：本題考查了全等三角形的判定與性質，及等邊三角形的性質，難度適中，注意熟練掌握這些知識以便靈活應用．