Question

探索與證明：

（1）如圖14-1，直線m經過正三角形ABC的頂點A，在直線m上取兩點 D，E，使得∠ADB=60°，∠AEC=60°．通過觀察或測量，猜想線段BD，CE與DE之間滿足的數量關系，并予以證明；

（2）將（1）中的直線m繞著點A逆時針方向旋轉一個角度到如圖14-2的位置，并使∠ADB=120°，∠AEC=120°．通過觀察或測量，猜想線段BD，CE與DE之間滿足的數量關系，并予以證明．

Answer 1

(1) 猜想：BD+CE=DE．………………………………………………………………1分

證明：由已知條件可知：∠DAB+∠CAE=120°，∠ECA+∠CAE=120°,

∴∠DAB=∠ECA．

在△DAB和△ECA中，∠ADB=∠AEC=60°，∠DAB=∠ECA，AB=CA，

∴△DAB≌△ECA（AAS）．

∴AD=CE，BD=AE．

∴BD+CE=AE+ AD=DE．…………………………………………………5分

(2) 猜想：CE－BD=DE．………………………………………………………………6分

證明：由已知條件可知：∠DAB+∠CAE=60°，∠ECA+∠CAE=60°,

∴∠DAB=∠ECA．

在△DAB和△ECA中，∠ADB=∠AEC=120°，∠DAB=∠ECA，AB=CA，

∴△DAB≌△ECA（AAS）．

∴AD=CE，BD=AE．

∴CE－BD=AD－AE=DE．………………………………………………10分