Question

已知關于x的一元二次方程x²-（k-3）x-k²=0．
（1）求證：無論k取何值，原方程總有兩個不相等的實數根；
（2）若x₁．x₂是原方程的兩根，且|x1-x2|=2

2

，求k的值．

Answer 1

分析：（1））根據△=[-（k-3）]²-4×1×（-k²）=（k-3）²+4k²＞0，即可得出答案；
（2﹚先根據|x1-x2|=2

2

，得出x₁²+x₂²-2x₁x₂=8，再根據x₁+x₂=k-3，x₁x₂=-k²，得出（k-3）²+4k²=8，最后解方程即可．

解答：解：（1）∵△=[-（k-3）]²-4×1×（-k²）=（k-3）²+4k²＞0，
∴無論k取何值時，方程總有兩個不相等的實數根；
（2）∵|x1-x2|=2

2

，
∴x₁²+x₂²-2x₁x₂=8，
∴（x₁+x₂）²-4x₁x₂=8，
∵x₁+x₂=k-3，x₁x₂=-k²，
∴（k-3）²+4k²=8，
解得；k₁=1或k₂=

1

5

．

點評：本題考查了一元二次方程的根的判別式和根與系數的關系，當△＞0，方程有兩個不相等的實數根；當△=0，方程有兩個相等的實數根；當△＜0，方程沒有實數根．