Question

在平面直角坐標系xOy中，已知反比例函數y=

1 2 k

x

(k≠0)滿足：當x＜0時，y隨x的增大而減小．若該反比例函數的圖象與直線y=-x+

2

k都經過點P，且|OP|=

3

，則實數k=

3

2

．

Answer 1

分析：根據反比例函數性質確定出k＞0，然后設點P的坐標為（a，b），再根據點P是反比例函數與直線的交點，代入兩解析式得到關于a、b、k的兩個方程，再根據OP的長度得到一個方程，然后聯立求解消掉a、b得到關于k的一元二次方程，求解即可．

解答：解：∵當x＜0時，y隨x的增大而減小，
∴

1

2

k＞0，
解得k＞0，
設點P坐標為（a，b），
根據題意得，

1 2 k

a

=b，-a+

2

k=b，OP=

a2+b2

=

3

，
整理得，2ab=k①，a+b=

2

k②，a²+b²=3③，
∵（a+b）²=a²+2ab+b²，
∴2k²=k+3，
即2k²-k-3=0，
解得k₁=

3

2

，k₂=-1（舍去），
故答案為：

3

2

．

點評：本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題，根據完全平方公式把a、b消掉轉化為關于k的一元二次方程是解題的關鍵．