Question

已知二次函數的圖象經過A（2，0）、C(0，12) 兩點，且對稱軸為直線x=4. 設頂點為點P，與x軸的另一交點為點B.

（1）求二次函數的解析式及頂點P的坐標；

（2）如圖1，在直線 y=2x上是否存在點D，使四邊形OPBD為等腰梯形？若存在，求出點D的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）如圖2，點M是線段OP上的一個動點（O、P兩點除外），以每秒個單位長度的速度由點P向點O 運動，過點M作直線MN∥x軸，交PB于點N. 將△PMN沿直線MN對折，得到△P₁MN. 在動點M的運動過程中，設△P₁MN與梯形OMNB的重疊部分的面積為S，運動時間為t秒. 求S關于t的函數關系式.

 

Answer 1

【答案】

（1）y= x²－8x+12，（4，－4）（2）當D(，)時，四邊形OPBD為等腰梯形（3）S=－t²+12t－12

【解析】解：（1）設二次函數的解析式為y=ax²+bx+c

            由題意得    解得

           ∴二次函數的解析式為y= x²－8x+12  ……………………………………2分

            點P的坐標為（4，－4） ………………………………………………3分

（2）存在點D，使四邊形OPBD為等腰梯形. 理由如下：

當y=0時，x²-8x+12=0   ∴x₁=2 ， x₂=6

∴點B的坐標為（6，0）

設直線BP的解析式為y=kx+m

     則       解得

              ∴直線BP的解析式為y=2x－12

         ∴直線OD∥BP………………………………………4分

     ∵頂點坐標P（4， －4）     ∴ OP=4

         設D(x，2x)    則BD²=（2x）²+(6－x)²

             當BD=OP時，（2x）²+(6－x)²=32

         解得：x₁=，x ₂=2…………………………………………………………………6分

         當x₂=2時，OD=BP=，四邊形OPBD為平行四邊形，舍去

         ∴當x=時四邊形OPBD為等腰梯形 …………………7分

         ∴當D(，)時，四邊形OPBD為等腰梯形  ………8分

（3）① 當0＜t≤2時，

∵運動速度為每秒個單位長度，運動時間為t秒，

則MP=t    ∴PH=t，MH=t，HN=t   ∴MN=t

∴S=t·t·=t²   ……………………10分

        ② 當2＜t＜4時，P₁G=2t－4，P₁H=t

            ∵MN∥OB    ∴ ∽

∴     ∴

            ∴ =3t²－12t+12

∴S=t²－(3t²－12t+12)= －t²+12t－12

∴  當0＜t≤2時，S=t²

                  當2＜t＜4時，S=－t²+12t－12 ……………12分

（1）拋物線與x軸的另一交點坐標為（6,0），設解析式為y=a(x-2)(x-6),將C（0,12）代入得12=a(0-2)(0-6),得a=1,則拋物線解析式為y=x²-8x+12,頂點P為（4，-4）

（2）因為直線y=2x與PB平行，則OP=BD時四邊形OPBD為等腰梯形，設D(m,2m)則有OP²=BD²，(m-6)²+(2m)²=4²+4²，即5m²-12m+4=0,解得m₁=2/5,m₂=2(此時為平行四邊形舍去)，所以直線y=2x上存在D點符合題意，此時有D(2/5,4/5)

（3）根據t運動時間不同，分兩種情況討論，分別求出S關于t的函數關系式