Question

關(guān)于x的一元二次方程kx²-（1-2k）x+k=0
（1）當(dāng)k為何值時(shí)，這個(gè)方程一定有實(shí)數(shù)根；
（2）已知等腰△ABC的一邊a=

1

3

，若另兩邊b、c恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)根，求△ABC的周長．

Answer 1

分析：（1）整理根的判別式，得到它是非負(fù)數(shù)即可．
（2）分b=c，b=a兩種情況做．

解答：證明：（1）∵方程一定有實(shí)數(shù)根，
∴△=（1-2k）²-4k²=1-4k≥0，
解得：k≤

1

4

且k≠0；
（2）①當(dāng)b=c時(shí)，則△=0，
即1-4k=0，
∴k=

1

4

，
方程可化為x²-2x+1=0，
∴x₁=x₂=1，
而b=c=1，
∴L_△ABC=2

1

3

；

②當(dāng)b=a=

1

3

，
∴k×

1

9

-（1-2k）×

1

3

+k=0．
解得：k=

3

16

，
設(shè)另一根為a，則a+

1

3

=1，
∴a=

2

3

，
此時(shí)不滿足三角形三邊關(guān)系，不合題意，
∴周長為2

1

3

．

點(diǎn)評：本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程總有實(shí)數(shù)根應(yīng)根據(jù)判別式來做，兩根互為相反數(shù)應(yīng)根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系做，等腰三角形的周長應(yīng)注意兩種情況，以及兩種情況的取舍．