Question

如圖，將直角梯形OABC置于直角坐標系中，O是原點，且A、B、C的坐標分別是（8，0），（5，k），（0，k），在OA邊上取動點P，連接BP，作PD⊥BP交y軸正半軸于點D，設OP=x，OD=y．
（1）當k=4時，
①求出y關于x的函數關系式；
②若△APB是等腰三角形時，求y的值；
③點D能否與C點重合，若存在，求出相應x的值，若不存在，請說明理由；
（2）當k在什么范圍內，存在點D，使得PD經過點C？（直接寫出結果）

Answer 1

【答案】分析：（1）①可過B作BE⊥OA于E，根據相似三角形POD和BEB得出的關于OP、OD、BE、PE的比例關系式得出y，x的函數關系式．
②本題要分類求解：
一：AB=AP，可在直角三角形ABE中，用勾股定理求出AE的長，即可求出PE和OP的長，也就求出了y的值．
二：AB=BP，此時PE=AE，即BC-OP=OA-BC，據此可求出OP的長
三：PB=PA，那么PB=PA=8-y，可在直角三角形BPE中，用勾股定理求出y的值
③D、C重合時，y=OC=4，將其代入①的函數中，如果得出的方程無解則說明D、C不重合，如果有解，得出的x的值就是所求．
（2）在運動的過程中，若PD經過點C，則∠CPB=90°，那么以BC為直徑的圓會與AO相交或相切，為此k≤BC．
解答：解：
（1）當k=4時，B（5，4），C（0，4）；
①過B作BE⊥OA于E，則△DPO∽△PBE，
∴，
即．
∴y=-x²+x．
②當BP=AB時，AE=PE，
即5-y=8-5，得y=2．
當AP=AB時，在直角三角形ABE中，AE=3，BE=4，根據勾股定理有AB=PA=5，
∴PE=5-3=2，
因此OP=BC-PE=2，即y=3．
當AP=BP時，在直角三角形BPE中，BP=AP=8-y，BE=4，PE=5-y．
根據勾股定理有：
（8-y）²=16+（5-y）²，
解得y=．
③點D不能與C點重合．
令y=4，得-x²+x=4，此方程無實根．
因此點D不能C點重合．

（2）在滿足0＜k≤2.5時，存在點D，使得PD經過C．
點評：本題考查了相似三角形的判定和性質、等腰三角形的判定和性質、二次函數的應用等知識．綜合性強，考查學生分類討論，數形結合的數學思想方法．