Question

已知：如圖，以△ABC的一邊BC為直徑的⊙O分別交AB、AC于D、E兩點.

（1）當△ABC為等邊三角形時，則圖1中△ODE的形狀是 ；

（2）若?A=60°，AB≠AC（如圖2），則（1）的結論是否還成立？請說明理由.

Answer 1

（1）△ODE為等邊三角形（2）成立

【解析】

試題分析：（1）根據等邊三角形的性質知?B=?C=60°，再結合同圓的半徑相等，可知OB=OC=OD=OE，進而知△OBD,△OEC均為等邊三角形，所以?BOD=?COE=60°，再由平角的定義知?DOE=60°，因此得證；

（2）連接CD，由BC為⊙O直徑，可根據直徑所對的圓周角是直角，可得CD⊥AB，所以可求得∠ACD=30°，再根據同弧所對的圓周角等于其所對的圓心角的一半的性質可求得∠DOE=60°，再由半徑相等得證結論成立.

試題解析：【解析】

△ODE為等邊三角形

證明：∵△ABC為等邊三角形，

∴?B=?C=60°.

∵OB=OC=OD=OE,

∴△OBD,△OEC均為等邊三角形.

∴?BOD=?COE=60°.

∴?DOE=60°.

∵OD=OE,

∴△ODE為等邊三角形.

（2）答：成立．

證明：如圖：連接CD

∵BC為⊙O直徑,

∴?BDC=90°,

∴?ADC=90°.

∵?A=60°,

∴?ACD=30°．

∴?DOE=60°.

∵OD=OE,

∴△DOE為等邊三角形.

考點：等邊三角形，圓周角的性質定理