Question

如圖，已知斜坡AB長60米，坡角（即∠BAC）為30°，BC⊥AC，現計劃在斜坡中點D處挖去部分坡體（用陰影表示）修建一個平行于水平線CA的平臺DE和一條新的斜坡BE．（下面兩小題的結果都精確到0.1米，參考數據：≈1.732）
（1）若修建的斜坡BE的坡度為1：0.8，則平臺DE的長為______米；
（2）斜坡前的池塘內有一座建筑物GH，小明在平臺E處測得建筑物頂部H的仰角（即∠HEM）為30°，測得建筑物頂部H在池塘中倒影H′的俯角為45°（即∠H′EM），測得點B、C、A、G、H、H′在同一個平面內，點C、A、G在同一條直線上，且HG⊥CG，求建筑物GH的高和AG的長．

Answer 1

解：（1）∵FM∥CG，
∴∠BDF=∠BAC=30°，
∵斜坡AB長60米，D是AB的中點，
∴BD=30米，
∴DF=BD•cos∠BDF=30×=15≈25.98（米），BF=BD•sin∠BDF=30×=15（米），
∵斜坡BE的坡度為1：0.8，
∴=，
解得：EF=12（米），
∴DE=DF-EF=25.98-12≈14.0（米）；
故答案為：14.0；

（2）設GH=x米，
則MH=GH-GM=x-15（米），GH′=GH=x米，MH′=GH′+GM=x+15（米），
在Rt△EMH中，tan30°==，
在Rt△EMH′中，tan45°==1，
∴=，
即=，
解得：x=56.0，
即GH=56.0米，
∵∠BEF=∠DEH′=45°，
∴EF=BF=15（米），
∴EM=MH′=x+15=71.0（米），
∴FM=EF+EM=15+71.0=86.0（米），
∴CG=FM=86.0米，
∵AC=AB•cos30°=60×=30≈52.0（米），
∴AG=CG-AC=86.0-52.0=34.0（米）．
答：建筑物GH的高為56.0米，AG的長約為34.0米．
分析：（1）由三角函數的定義，即可求得DF與BF的長，又由坡度的定義，即可求得EF的長，繼而求得平臺DE的長；
（2）首先設GH=x米，由三角函數的定義，即可求得GH的長，繼而求得答案．
點評：此題考查了坡度坡角問題以及俯角仰角的定義．此題難度較大，注意根據題意構造直角三角形，并解直角三角形；注意掌握數形結合思想與方程思想的應用．