Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，CD是邊AB上的高，且CD=2，AD=1，四邊形BDEF是正方形．△CEF和△BDC相似嗎？試證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：△CEF∽△BDC，理由為：由CD為AB上的高，得到三角形ADC為直角三角形，由CD與AD的長，利用勾股定理求出AC的長，根據AB=AC，得出AB的長，再由四邊形BDEF為正方形，得到四條邊相等，得到EF=BD，而BD=AB-AD求出，得到EF的長，再由CE=CD-DE求出CE的長，進而求出CE與EF的比值，再求出BD與CD的比值，發現其比值相等，再由夾角都為直角相等，利用兩對對應邊成比例且夾角相等的兩三角形相似可得證．
解答：解：△CEF∽△BDC，理由為：
證明：在Rt△ADC中，AD=1，CD=2，
∴根據勾股定理得：AC=AB==，
又四邊形BDEF為正方形，
∴EF=BD=AB-AD=-1，CE=CD-DE=CD-EF=2-（-1）=3-，
∴==，
又∵=，
∴=，即=，
又∠CEF=∠BDC=90°，
∴△CEF∽△BDC．
點評：此題考查了相似三角形的判定，勾股定理，以及正方形的性質，相似三角形的判定方法有：兩對對應角相等的兩三角形相似；兩邊成比例且夾角相等的兩三角形相似；三邊成比例的兩三角形相似．