Question

如圖，在△ABC中，AC=BC＞AB，點P為△ABC所在平面內一點，且點P與△ABC的任意兩個頂點構成△PAB，△PBC，△PAC均是等腰三角形，則滿足上述條件的所有點P的個數為    個．

Answer 1

【答案】分析：根據線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等，作出AB的垂直平分線，首先△ABC的外心滿足，再根據圓的半徑相等，以點C為圓心，以AC長為半徑畫圓，AB的垂直平分線相交于兩點，分別以點A、B為圓心，以AC長為半徑畫圓，與AB的垂直平分線相交于一點，再分別以點A、B為圓心，以AB長為半徑畫圓，與⊙C相交于兩點，即可得解．
解答：解：如圖所示，作AB的垂直平分線，①△ABC的外心P₁為滿足條件的一個點，
②以點C為圓心，以AC長為半徑畫圓，P₂、P₃為滿足條件的點，
③分別以點A、B為圓心，以AC長為半徑畫圓，P₄為滿足條件的點，
④分別以點A、B為圓心，以AB長為半徑畫圓，P₅、P₆為滿足條件的點，
綜上所述，滿足條件的所有點P的個數為6．
故答案為：6．
點評：本題考查了等腰三角形的判定與性質，主要利用了線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等的性質，三角形的外心到三個頂點的距離相等，圓的半徑相等的性質，作出圖形更形象直觀．