Question

已知：如圖，拋物線y=ax²+bx+c經過A（1，0）、B（5，0）、C（0，5）三點．
（1）求拋物線的函數關系式；
（2）若過點C的直線y=kx+b與拋物線相交于點E（4，m），請求出△CBE的面積S的值；
（3）在拋物線上求一點P₀，使得△ABP₀為等腰三角形，并寫出P₀點的坐標；
附加：（4）除（3）中所求的P₀點外，在拋物線上是否還存在其它的點P使得△ABP為等腰三角形？若存在，請求出一共有幾個滿足條件的點P（要求簡要說明理由，但不證明）；若不存在這樣的點P，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵拋物線經過點A（1，0）、B（5，0），
∴y=a（x-1）（x-5）．
又∵拋物線經過點C（0，5），
∴5a=5，a=1，
∴拋物線的解析式為y=（x-1）（x-5）=x²-6x+5．

（2）∵E點在拋物線上，
∴m=4²-4×6+5=-3．
∵直線y=kx+b過點C（0，5）、E（4，-3），
∴，
解得k=-2，b=5．
設直線y=-2x+5與x軸的交點為D，
當y=0時，-2x+5=0，
解得x=．
∴D點的坐標為（，0）．
∴S=S_△BDC+S_△BDE
==10．

（3）∵拋物線的頂點P₀（3，-4）既在拋物線的對稱軸上又在拋物線上，
∴點P₀（3，-4）為所求滿足條件的點．

（4）除P₀點外，在拋物線上還存在其它的點P使得△ABP為等腰三角形．
理由如下：
∵，
∴分別以A、B為圓心半徑長為4畫圓，分別與拋物線交于點B、P₁、P₂、P₃、A、P₄、P₅、P₆，除去B、A兩個點外，其余6個點為滿足條件的點．
分析：（1）將已知三點的坐標代入拋物線的方程，可得abc的值，進而可得拋物線的方程；
（2）根據題意，易得直線的方程，進而可得D的坐標，最后代入可得△CBE的面積；
（3）根據二次函數的對稱性，易得答案；
（4）假設存在，以A、B為圓心半徑長為4畫圓，分析可得在拋物線上還存在其它的點P使得△ABP為等腰三角形．
點評：本題考查學生將二次函數的圖象與解析式相結合處理問題、解決問題的能力．