Question

【題目】如圖 ，等腰三角形PEF中，PE=PF，點O在EF邊上（異于點E，F），點Q是PO延長線上一點，若△EFQ為等腰三角形，則稱點Q為△PEF的“同類點”.

（1）如圖，BG平分∠MBN，過射線BM上的點A作AD∥BN，交射線BG于點D，點O為BD上一點，連接AO并延長交射線BN于點C，若∠BAD=100°，∠BCD=70°，求證：點C是△ABD的“同類點”；

（2）如圖③，在5×5的正方形網格圖上有一個△ABC，點A，B，C均在格點上，在給出的網格圖上有一個格點D，使得點D為△ABC的“同類點”，則這樣的點D共有__________個；

（3）凸四邊形ABCD中，∠ABC=110°，DA=AB=BC，對角線AC，BD交于點O，且BD≠CD，若點C為△ABD的“同類點”，請直接寫出滿足條件的∠ADC的度數.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）4；（3）∠ADC的度數為125°或110°.

【解析】

（1）根據平行線的性質和角平分線的性質可得△ABD是等腰三角形，然后可求出∠ABD=∠ADB=∠DBC=40°，利用三角形內角和定理求出∠BDC的度數即可得到△BCD為等腰三角形，即點C是△ABD的“同類點”；

（2）找出所有在BC下方能使△BCD為等腰三角形的格點D即可；

（3）根據點C為△ABD的“同類點”可知△BCD為等腰三角形，然后分情況討論：①當BD=BC時，②當BC=CD時，分別作出圖形，根據等邊三角形的判定和性質以及等腰三角形的性質求解即可.

解：（1）∵BG平分∠MBN，

∴∠ABD=∠DBC，

∵AD∥BN，

∴∠ADB=∠DBC，

∴∠ADB=∠ABD，

∴△ABD是等腰三角形，

又∵∠BAD=100°，

∴∠ABD=∠ADB=∠DBC=40°，

∵∠BCD=70°，

∴∠BDC=180°－∠DBC－∠BCD=180°－40°－70°=70°，

∴△BCD為等腰三角形，

∴點C是△ABD的“同類點”；

（2）如圖所示：這樣的點D共有4個；

（3）∵∠ABC=110°，DA=AB=BC，BD≠CD，點C為△ABD的“同類點”，

分情況討論：

①如圖，當BD=BC時，則BD=BC=DA=AB，

∴△ABD是等邊三角形，

∴∠ABD=∠ADB=60°，

∴∠DBC=110°－60°＝50°，

∴∠BDC=，

∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=60°+65°=125°；

②如圖，當BC=CD時，

則∠ABD=∠ADB，∠CDB=∠CBD，

∴∠ADB+∠CDB=∠ABD+∠CBD，

∴∠ADC=∠ABC=110°，

綜上，∠ADC的度數為125°或110°.