Question

如圖，已知△ABC中，AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm．如果點P由B出發沿BA向點A勻速運動，同時點Q由A出發沿AC向點C勻速運動，它們的速度均為2cm/s．連接PQ，設運動的時間為t（單位：s）（0≤t≤4）．

（1）當t為何值時，PQ∥BC．

（2）設△AQP的面積為S（單位：cm²），當t為何值時，S取得最大值，并求出最大值．

（3）是否存在某時刻t，使線段PQ恰好把△ABC的面積平分？若存在，求出此時t的值；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）s；（2）t=s時，S取得最大值為cm²；（3）不存在

【解析】

試題分析：（1）由PQ∥BC可得，即，解出即可；

（2）先根據勾股定理的逆定理證得∠C=90°，過P點作PD⊥AC于點D，則PD∥BC，，即，解得PD=6﹣t，即可得到S關于t的二次函數，根據二次函數的性質即可求得結果；

（3）假設存在某時刻t，使線段PQ恰好把△ABC的面積平分，則有S_△AQP=S_△ABC=12．由（2）可知，S_△AQP=﹣t²+6t，則有﹣t²+6t=12，根據此方程無解，即可作出判斷．

（1）∵PQ∥BC

∴

即       

解得t=

∴當t=s時，PQ∥BC  

（2）∵AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm，

∴∠C=90°  

過P點作PD⊥AC于點D．

∴PD∥BC，

∴，

即，

解得PD=6﹣t    

∴S=×AQ×PD=×2t×（6﹣t）

=﹣t²+6t=﹣（t﹣）²+，

∴當t=s時，S取得最大值，最大值為cm² 

（3）假設存在某時刻t，使線段PQ恰好把△ABC的面積平分，

則有S_△AQP=S_△ABC=12．

由（2）可知，S_△AQP=﹣t²+6t，

∴﹣t²+6t=12，

化簡得：t²﹣5t+10=0，

∵△=（﹣5）²﹣4×1×10=﹣15＜0，此方程無解，

∴不存在某時刻t，使線段PQ恰好把△ABC的面積平分．

考點：動點的綜合題

點評：此類問題綜合性強，難度較大，在中考中比較常見，一般作為壓軸題，題目比較典型．