Question

如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，D為BC的中點，AE⊥AD，AE交CB的延長線于點E．
（1）求證：△EAB∽△ECA；
（2）△ABE和△ADC是否一定相似？如果相似，加以說明；如果不相似，那么增加一個怎樣的條件，△ABE和△ADC一定相似．

Answer 1

分析：（1）由題意，△ABC中，∠BAC=90°，D為BC的中點，可得，BD=CD，AD=CD，所以，∠C=∠DAC，又由AE⊥AD，所以，∠EAB+∠BAD=90°，∠BAD+∠DAC=90°，所以，∠EAB=∠C，即可證得；
（2）由（1）得，∠EAB=∠CAD，所以，當∠ABE=∠ADC或AB=BE或∠E=∠C或

AE

AC

=

AB

AD

時，△ABE和△ADC一定相似．

解答：證明：（1）∵△ABC中，∠BAC=90°，D為BC的中點，
∴BD=CD，AD=CD，
∴∠C=∠DAC，
又∵AE⊥AD，
∴∠EAB+∠BAD=90°，∠BAD+∠DAC=90°，
∴∠EAB=∠C，
∴△EAB∽△ECA；

（2）由（1）得，∠EAB=∠CAD，
∴當∠ABE=∠ADC或AB=BE或∠E=∠C或

AE

AC

=

AB

AD

時，△ABE和△ADC一定相似．

點評：本題主要考查了相似三角形的判定，掌握兩角法：有兩組角對應相等的兩個三角形相似，是正確解答本題的基礎．