Question

【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，AB≠BC，連接AC，AE是∠BAD的平分線，交邊DC的延長線于點F．
（1）證明：CE=CF；
（2）若∠B=60°，BC=2AB，試判斷四邊形ABFC的形狀，并說明理由．（如圖2所示）

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖（1），

∵AE是∠BAD的平分線，

∴∠BAF=∠DAF，

∵在平行四邊形ABCD中，

∴AB∥DF，AD∥BC，

∴∠BAF=∠F，∠DAF=∠CEF，

∴∠F=∠DAF=∠CEF，

∴CE=FC

（2）解：四邊形ABFC是矩形，

理由：如圖（2），

∵∠B=60°，AD∥BC，

∴∠BAD=120°，

∵∠BAF=∠DAF，

∴∠BAF=60°，

則△ABE是等邊三角形，

可得AB=BE=AE，∠BEA=∠AFC=60°，

∵BC=2AB，

∴AE=BE=EC，

∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，

在△ABE和△FCE中

∵ ，

∴△ABE≌△FCE（ASA），

∴AB=FC，

又∵AB∥FC，

∴四邊形ABFC是平行四邊形，

再由∠BAC=90°，

故四邊形ABFC是矩形．

【解析】（1）利用角平分線的性質結合平行四邊形的性質得出∠BAF=∠F，∠DAF=∠CEF，進而得出答案；（2）利用等邊三角形的判定方法得出△ABE是等邊三角形，進而得出△ABE≌△FCE（ASA），即可得出AB=FC，進而結合矩形的判定方法求出即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解平行四邊形的性質的相關知識，掌握平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分．