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如圖,在Rt△ABC中,AB=CB,BO⊥AC,把△ABC折疊,使AB落在AC上,點B與AC上的點E重合,展開后,折痕AD交BO于點F,連接DE、EF.下列結論:①tan∠ADB=2;②圖中有4對全等三角形;③若將△DEF沿EF折疊,則點D不一定落在AC上;④BD=BF;⑤S四邊形DFOE=S△AOF,上述結論中正確的個數是( )

A.1個
B.2個
C.3個
D.4個
【答案】分析:根據折疊的知識,銳角正切值的定義,全等三角形的判定,面積的計算判斷所給選項是否正確即可.
解答:解:①由折疊可得BD=DE,而DC>DE,∴DC>BD,∴tan∠ADB≠2,故①錯誤;
②圖中的全等三角形有△ABF≌△AEF,△ABD≌△AED,△FBD≌△FED,(由折疊可知)
∵OB⊥AC,∴∠AOB=∠COB=90°,
在Rt△AOB和Rt△COB中,

∴Rt△AOB≌Rt△COB(HL),
則全等三角形共有4對,故②正確;
③∵AB=CB,BO⊥AC,把△ABC折疊,
∴∠ABO=∠CBO=45°,∠FBD=∠DEF,
∴∠AEF=∠DEF=45°,∴將△DEF沿EF折疊,可得點D一定在AC上,故③錯誤;
④∵OB⊥AC,且AB=CB,
∴BO為∠ABC的平分線,即∠ABO=∠OBC=45°,
由折疊可知,AD是∠BAC的平分線,即∠BAF=22.5°,
又∵∠BFD為三角形ABF的外角,
∴∠BFD=∠ABO+∠BAF=67.5°,
易得∠BDF=180°-45°-67.5°=67.5°,
∴∠BFD=∠BDF,
∴BD=BF,故④正確;
⑤連接CF,∵△AOF和△COF等底同高,
∴S△AOF=S△COF
∵∠AEF=∠ACD=45°,
∴EF∥CD,
∴S△EFD=S△EFC
∴S四邊形DFOE=S△COF
∴S四邊形DFOE=S△AOF
故⑤正確;
正確的有3個,
故選C.
點評:綜合考查了有折疊得到的相關問題;注意由對稱也可得到一對三角形全等;用到的知識點為:三角形的中線把三角形分成面積相等的2部分;兩條平行線間的距離相等.
練習冊系列答案
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科目:初中數學 來源: 題型:

(2013•莆田質檢)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC的平分線AD交BC于點D,點E是AB上一點,以AE為直徑的⊙O過點D,且交AC于點F.
(1)求證:BC是⊙O的切線;
(2)若CD=6,AC=8,求AE.

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科目:初中數學 來源: 題型:

如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6cm,BC=8cm,AD和BD分別是∠BAC和∠ABC的平分線,它們相交于點D,求點D到BC的距離.

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科目:初中數學 來源: 題型:

如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=1,將三角板中一個30°角的頂點D放在AB邊上移動,使這個30°角的兩邊分別與△ABC的邊AC、BC相交于點E、F,且使DE始終與AB垂直.
(1)畫出符合條件的圖形.連接EF后,寫出與△ABC一定相似的三角形;
(2)設AD=x,CF=y.求y與x之間函數解析式,并寫出函數的定義域;
(3)如果△CEF與△DEF相似,求AD的長.

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科目:初中數學 來源: 題型:

如圖,在Rt△ABC中,BD⊥AC,sinA=
3
5
,則cos∠CBD的值是(  )

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科目:初中數學 來源: 題型:

如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8cm,BC=4cm,D、E分別為邊AB、BC的中點,連接DE,點P從點A出發,沿折線AD-DE-EB運動,到點B停止.點P在AD上以
5
cm/s的速度運動,在折線DE-EB上以1cm/s的速度運動.當點P與點A不重合時,過點P作PQ⊥AC于點Q,以PQ為邊作正方形PQMN,使點M落在線段AC上.設點P的運動時間為t(s).
(1)當點P在線段DE上運動時,線段DP的長為
(t-2)
(t-2)
cm,(用含t的代數式表示).
(2)當點N落在AB邊上時,求t的值.
(3)當正方形PQMN與△ABC重疊部分圖形為五邊形時,設五邊形的面積為S(cm2),求S與t的函數關系式.

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