Question

如圖，五邊形ABCDE為一塊土地的示意圖．四邊形AFDE為矩形，AE=130米，ED=100米，BC截∠F交AF、FD分別于點B、C，且BF=FC=10米．
（1）現要在此土地上劃出一塊矩形土地NPME作為安置區，且點P在線段BC上，若設PM的長為x米，矩形NPME的面積為y平方米，求y與x的函數關系式，并求當x為何值時，安置區的面積y最大，最大面積為多少？
（2）因三峽庫區移民的需要，現要在此最大面積的安置區內安置30戶移民農戶，每戶建房占地100平方米，政府給予每戶4萬元補助，安置區內除建房外的其余部分每平方米政府投入100元作為基礎建設費，在五邊形ABCDE這塊土地上，除安置區外的部分每平方米政府投入200元作為設施施工費．為減輕政府的財政壓力，決定鼓勵一批非安置戶到此安置區內建房，每戶建房占地120平方米，但每戶非安置戶應向政府交納土地使用費3萬元．為保護環境，建房總面積不得超過安置區面積的50%．若除非安置戶交納的土地使用費外，政府另外投入資金150萬元，請問能否將這30戶移民農戶全部安置？并說明理由．

Answer 1

分析：（1）要求矩形的面積就應該知道矩形的長和寬，可以延長MP交AF于點H，用PH表示出PM和PN，然后根據矩形的面積=長×寬，得出函數關系式，然后根據PH的取值范圍和函數的性質，得出面積最大值．
（2）本題的不等式關系為：非安置戶的建房占地面積+安置戶的建房占地面積≤安置區面積×50%；安置戶的補助費+安置戶的基礎建設費+安置戶的設施施工費≤150萬元+非安置戶繳納的土地使用費．以此來列出不等式，求出自變量的取值范圍．

解答：解：（1）延長MP交AF于點H，則△BHP為等腰直角三角形．
BH=PH=130-x
DM=HF=10-BH=10-（130-x）=x-120
則y=PM•EM=x•[100-（x-120）]=-x²+220x
由0≤PH≤10
得120≤x≤130因為拋物線y=-x²+220x的對稱軸為直線x=110，開口向下．
所以，在120≤x≤130內，
當x=120時，y=-x²+220x取得最大值．
其最大值為y=12000（㎡）

（2）設有a戶非安置戶到安置區內建房，政府才能將30戶移民農戶全部安置．
由題意，得
30×100+120a≤12000×50%
30×4+（12000-30×100-120a）×0.01+

90+100

2

×10×0.02≤150+3a
解得18

17

21

≤a≤25
因為a為整數．
所以，到安置區建房的非安置戶至少有19戶且最多有25戶時，政府才能將30戶移民農戶全部安置；否則，政府就不能將30戶移民農戶全部安置．

點評：本題考查了二次函數和一元一次不等式的綜合應用，讀清題意，找準等量關系是解題的關鍵．