Question

閱讀材料：如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x_p，y_p）．由x_p﹣x₁=x₂﹣x_p，得，同理，所以AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為．由勾股定理得，所以A、B兩點(diǎn)間的距離公式為．

注：上述公式對A、B在平面直角坐標(biāo)系中其它位置也成立．

解答下列問題：

如圖2，直線l：y=2x+2與拋物線y=2x²交于A、B兩點(diǎn)，P為AB的中點(diǎn)，過P作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)C．

（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)及C點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）連結(jié)AB、AC，求證△ABC為直角三角形；

（3）將直線l平移到C點(diǎn)時得到直線l′，求兩直線l與l′的距離．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）由，解得：。

∴A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：A（，），B（，）。

∵P是A，B的中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得P點(diǎn)坐標(biāo)為（，3）。

又∵PC⊥x軸交拋物線于C點(diǎn)，將x=代入y=2x²中得y=，

∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（，）。

（2）證明：由兩點(diǎn)間距離公式得：

，，

∴PC=PA=PB。

∴∠PAC=∠PCA，∠PBC=∠PCB。

∴∠PAC+∠PCB=90°，即∠ACB=90°。∴△ABC為直角三角形。

（3）如圖，過點(diǎn)C作CG⊥AB于G，過點(diǎn)A作AH⊥PC于H，

則H點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）。

∴。

∴。

又直線l與l′之間的距離等于點(diǎn)C到l的距離CG，∴直線l與l′之間的距離為。

【解析】（1）根據(jù)y=2x+2與拋物線y=2x²交于A、B兩點(diǎn)，直接聯(lián)立求出交點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得出C點(diǎn)坐標(biāo)即可；

（2）利用兩點(diǎn)間距離公式得出AB的長，進(jìn)而得出PC=PA=PB，求出∠PAC+∠PCB=90°，即∠ACB=90°即可得出答案。

（3）過點(diǎn)C作CG⊥AB于G，過點(diǎn)A作AH⊥PC于H，利用A，C點(diǎn)坐標(biāo)得出H點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得出CG=AH，求出即可。