Question

在正方形ABCD中，點E在線段BC上（點E不與點B、C重合），連接AE，過點E作AE的垂直交直線DC于F，交直線AB于G．如圖①，當點E為BC邊中點時，易證；CF+BG=EB．當點E不為BC邊中點時，如圖②，圖③兩種情況下，上述結論是否成立，若成立，請給予證明；若不成立，線段CF、BG、EB之間有怎樣的數量關系，寫出你的猜想，不需證明．

Answer 1

分析：如圖①過點F作FH⊥AB于H，交AE于M，根據正方形性質推出AB=BC，推出∠FHG=∠ABC，∠HFE=∠EAB，根據ASA證△ABE和△FHE全等即可；如圖②，與圖①證法類似證三角形全等即可；如圖③證△ABE和△FHG全等即可．

解答：解：（1）CF+BG=BE，成立
證明：如圖①，過點F作FH⊥AB于H，交AE于M，
∴四邊形FHBC為矩形，
∴FH=BC=AB，FC=HB，
∵正方形ABCD，AE⊥FG，
∴∠ABC=∠AEF=90°，
∵∠AMH=∠FME，
∴∠EAB=∠HFG，
在△ABE和△FHG中

∠EAB=∠HFG AB=FH ∠ABE=∠FHG

，
∴△ABE≌△FHG，
∴HG=BE，
CF+BG=BE．

（2）CF+BG=BE，
證明：如圖②，
過點F作FH⊥AB于H，交AE于M，
∴四邊形FHBC為矩形，
∴FH=BC=AB，FC=HB，
∵正方形ABCD，AE⊥FG，
∴∠ABC=∠AEF=90°，
∵∠AMH=∠FME，
∴∠EAB=∠HFG，
在△ABE和△FHG中

∠EAB=∠HFG AB=FH ∠ABE=∠FHG

，
∴△ABE≌△FHG，
∴HG=BE，
CF+BG=BE．

（3）如圖③的猜想是BG-CF=BE．

點評：此題考查了正方形的性質，三角形的內角和定理，全等三角形的性質和判定等知識點，解決此類問題的關鍵是正確的利用旋轉不變量，主要考查學生能否求出證△ABE和△FHG全等的三個條件，題目比較典型，難度適中．