Question

45、已知1+x+x²+x³+x⁴=0，求1+x+x²+x³+…+x²⁰⁰⁹的值．

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Answer 1

分析：1+x+x²+x³+…+x²⁰⁰⁹可以整理為（1+x+x²+x³+x⁴）+（x⁵+x⁶+…+x⁹）+…+（x²⁰⁰⁵+x²⁰⁰⁶+…+x²⁰⁰⁹），經過兩次提公因式可得（1+x+x²+x³+x⁴）（1+x⁵+x¹⁰+…+x²⁰⁰⁵）．

解答：解：1+x+x²+x³+…+x²⁰⁰⁹=（1+x+x²+x³+x⁴）+（x⁵+x⁶+…+x⁹）+…+（x²⁰⁰⁵+x²⁰⁰⁶+…+x²⁰⁰⁹）
=（1+x+x²+x³+x⁴）+x⁵（1+x+x²+x³+x⁴）+…+x²⁰⁰⁵（1+x+x²+x³+x⁴）
=（1+x+x²+x³+x⁴）（1+x⁵+x¹⁰+…+x²⁰⁰⁵）
由于1+x+x²+x³+x⁴=0，所以原式=0．

點評：尋找公因式1+x+x²+x³+x⁴是此題的關鍵．