Question

【題目】如圖，在矩形OABC中，OA＝8，OC＝4，OA、OC分別在x軸與y軸上，D為OA上一點，且CD＝AD．

（1）求點D的坐標；

（2）若經過B、C、D三點的拋物線與x軸的另一個交點為E，請直接寫出點E的坐標；

（3）在（2）中的拋物線上位于x軸上方的部分，是否存在一點P，使△PBC的面積等于梯形DCBE的面積？若存在，求出點P的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）D（3，0）；（2）E（5，0）；（3）不存在

【解析】

（1）設OD＝x，則AD＝CD＝8－x ，在Rt△OCD中，根據勾股定理即可列方程求解；

（2）由題意知，拋物線的對稱軸為直線x＝4，根據拋物線的對稱性即可求得結果；

（3）若存在這樣的P，則由S梯形＝20得S△PBC＝·BC·h＝20可求得h＝5，根據待定系數法求得拋物線函數關系式，從而得到頂點坐標，即可得到頂點到BC的距離為4＋＝＜5，即可作出判斷.

（1）設OD＝x，則AD＝CD＝8－x

Rt△OCD中，(8－x)2＝x2＋42，得x＝3

∴OD＝3

∴D（3，0）

（2）由題意知，拋物線的對稱軸為直線x＝4

∵D（3，0）， ∴另一交點E（5，0）

（3）若存在這樣的P，則由S梯形＝20得S△PBC＝·BC·h＝20．

∴h＝5

∵B（8，－4）， C（0，－4）， D（3，0）

∴該拋物線函數關系式為：y＝－x2＋x－4．

頂點坐標為（4，）

∴頂點到BC的距離為4＋＝＜5

∴不存在這樣的點P， 使得△PBC的面積等于梯形DCBE的面積．