Question

【題目】(1)問題發現

在△ABC中，AC=BC，∠ACB=α，點D為直線BC上一動點，過點D作DF∥AC交AB于點F，將AD繞點D順時針旋轉α得到ED，連接BE．

如圖(1)，當α=90°時，試猜想：

①AF與BE的數量關系是　 　；②∠ABE=　 　；

(2)拓展探究

如圖(2)，當0°<α<90°時，請判斷AF與BE的數量關系及∠ABE的度數，并說明理由．

(3)解決問題

如圖(3)，在△ABC中，AC=BC，AB=8，∠ACB=α，點D在射線BC上，將AD繞點D順時針旋轉α得到ED，連接BE，當BD=3CD時，請直接寫出BE的長度．

Answer 1

【答案】（1）①AF＝BF ②90°；（2）AF＝BE，∠ABE＝α，理由見解析；（3）2或4

【解析】

（1）①由“SAS”△ADF≌△EDB，可得AF=BE，②根據三角形全等可得∠DAF＝∠E，又因為∠AOD＝∠EOB，即可求得∠ABE=∠ADO=90°；
（2）結論：AF=BF，∠ABE=a．由“SAS”證△ADF≌△EDB，即可解決問題；
（3）分當點D在線段BC上和當點D在BC的延長線上兩種情形討論，利用平行線分線段成比例可求解．

（1）①設AB交DE于O．

∵∠ACB＝90°，AC＝BC，

∴∠ABC＝45°，

∵DF∥AC，

∴∠FDB＝∠C＝90°，

∴∠DFB＝∠DBF＝45°，

∴DF＝DB，

∵∠ADE＝∠FDB＝90°，

∴∠ADE-∠FDE=∠FDB-∠FDE

∴∠ADF＝∠EDB，

∵DA＝DE，

∴△ADF≌△EDB，

∴AF＝BE，

②由①得：△ADF≌△EDB，

∴∠DAF＝∠E，

又∵∠AOD＝∠EOB，

∴∠ABE＝∠ADO＝90°．

故答案為：AF＝BF，90°．

(2)結論：AF＝BE，∠ABE＝α．理由如下：

∵DF∥AC，

∴∠ACB＝∠FDB＝∠ADE=α，∠CAB＝∠DFB，

∵AC＝BC，

∴∠ABC＝∠CAB，

∴∠ABC＝∠DFB，

∴DB＝DF，

∵∠ADF＝∠ADE﹣∠FDE，∠EDB＝∠FDB﹣∠FDE，

∴∠ADF＝∠EDB，

又∵AD＝DE，

∴△ADF≌△EDB，

∴AF＝BE，∠AFD＝∠EBD

∵∠AFD＝∠ABC+∠FDB，∠DBE＝∠ABD+∠ABE，

∴∠ABE＝∠FDB＝α．

(3)①如圖3﹣1中，當點D在BC上時，

∵BD=3CD

∴

∵DF∥AC，

∴=，

∵AB＝8，

∴AF＝2，

由(2)可知：BE＝AF，

∴BE＝AF＝2，

②如圖3﹣2中，當點D在BC的延長線上時，

∵BD=3CD

∴

∵AC∥DF，

∴＝，

∵AB＝8，

∴AF＝4，

∴BE＝AF＝4

故BE的長度為2或4．