Question

已知關于x的一元二次方程x²+（2k-1）x+k²=0
（1）若原方程有兩個不相等的實數根，求k的取值范圍；
（2）設x₁，x₂是原方程的兩個實數根，且，求k的值．

Answer 1

解：（1）根據題意得△=（2k-1）²-4k²≥0，解得k≤；
（2）根據題意得x₁+x₂=-（2k-1），x₁•x₂=k²，
∵x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂，
∴（2k-1）²-2k²=17，解得k₁=1+，k₂=1-，
∵k≤，
∴k=1-．
分析：（1）根據一元二次方程根的判別式的意義得到△=（2k-1）²-4k²≥0，然后解不等式即可；
（2）根據根與系數的關系得到x₁+x₂=-（2k-1），x₁•x₂=k²，再變形x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂，則（2k-1）²-2k²=17，然后解方程得到滿足條件的k的值．
點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與系數的關系：若方程兩個為x₁，x₂，則x₁+x₂=-，x₁•x₂=．也考查了一元二次方程根的判別式．