Question

【題目】如圖，拋物線與軸交于兩點，與軸交于點，且.直線與拋物線交于兩點，與軸交于點，點是拋物線的頂點，設直線上方的拋物線上的動點的橫坐標為．

（1）求該拋物線的解析式及頂點的坐標．

（2）連接，直接寫出線段與線段的數量關系和位置關系．

（3）連接，當為何值時？

（4）在直線上是否存在一點，使為等腰直角三角形？若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1），點的坐標為（2）線段與線段平行且相等（3）或1（4）存在；點的坐標為（0，3）或（，2）

【解析】

（1）直線y=x+1與拋物線交于A點，可得點A和點E坐標，則點B、C的坐標分別為：（3，0）、（0，3），即可求解；

（2）CQ==AE，直線AQ和AE的傾斜角均為45°，即可求解；

（3）根據題意將△APD的面積和△DAB的面積表示出來，令其相等，即可解出m的值；

（4）分∠QOH=90°、∠PQH=90°、∠QHP=90°三種情況，分別求解即可．

解：（1）直線與拋物線交于點，則點、點.

∵，

∴點的坐標為，

故拋物線的表達式為，

將點的坐標代入，得，解得，

故拋物線的表達式為，

函數的對稱軸為，故點的坐標為.

（2）CQ=AE，且CQ∥AE，

理由是：，

，

∴CQ=AE，

直線CQ表達式中的k==1，與直線AE表達式中k相等，故AE∥CQ，
故線段CQ與線段AE的數量關系和位置關系是平行且相等；

（3）聯立直線與拋物線的表達式，并解得或2.故點.

如圖1，過點作軸的平行線，交于點，

設點，則點.

解得或1.

（4）存在，理由：

設點，點，，而點，

①當時，如圖2，

過點作軸的平行線，分別交過點、點與軸的平行線于點、，

，，，

，，

在△PGQ和△HMP中，

，

，

，，

即：，，

解得m=2或n=3，

當n=3時，

解得：或2（舍去），

故點P；

②當時，如圖3，

，則點、關于拋物線對稱軸對稱，即垂直于拋物線的對稱軸，

而對稱軸與軸垂直，故軸，則，

可得：△MQP和△NQH都是等腰直角三角形，

MQ=MP，

∵MQ=1-m，MP=4-n，

∴n=3+m，代入，

解得：或1（舍去），

故點P；

③當時，

如圖4所示，點在下方，與題意不符，故舍去．

如圖5，P在y軸右側，同理可得△PHK≌△HQJ，

可得QJ= HK，

∵QJ=t-1，HK=t+1-n，

∴t-1=t+1-n，

∴n=2，

∴，

解得：m=（舍去）或，

∴點P（，2）

綜上，點的坐標為：或（，2）