Question

【題目】 若一個四邊形的兩條對角線互相垂直且相等，則稱這個四邊形為奇妙四邊形．如圖1，四邊形ABCD中，若AC=BD，AC⊥BD，則稱四邊形ABCD為奇妙四邊形．根據(jù)奇妙四邊形對角線互相垂直的特征可得奇妙四邊形的一個重要性質：奇妙四邊形的面積等于兩條對角線乘積的一半．根據(jù)以上信息回答：

（1）矩形 奇妙四邊形（填“是”或“不是”）；

（2）如圖2，已知⊙O的內接四邊形ABCD是奇妙四邊形，若⊙O的半徑為6，∠ BCD=60°．求奇妙四邊形ABCD的面積；

（3）如圖3，已知⊙O的內接四邊形ABCD是奇妙四邊形作OM⊥BC于M．請猜測OM與AD的數(shù)量關系，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）不是；

（2）54；

（3）.

【解析】

（1）根據(jù)矩形的性質和“奇妙四邊形”的定義進行判斷；
（2）連結OB、OD，作OH⊥BD于H，如圖2，根據(jù)垂徑定理，得到BH=DH，根據(jù)圓周角定理得到∠BOD=2∠BCD=120°，則利用等腰三角形的性質得∠OBD=30°，在Rt△OBH中可計算出，，則，然后根據(jù)奇妙四邊形”的面積等于兩條對角線乘積的一半求解；

（3）連結OB、OC、OA、OD，作OE⊥AD于E，如圖3，根據(jù)垂徑定理得到AE=DE，再利用圓周角定理得到∠BOM=∠BAC，∠AOE=∠ABD，再利用等角的余角相等得到∠OBM=∠AOE，則可證明△BOM≌△OAE得到OM=AE，于是有．

解：（1）矩形的對角線相等但不垂直，
所以矩形不是奇妙四邊形；
故答案為：不是；
（2）

連結OB、OD，作OH⊥BD于H，如圖2，則BH=DH，
∵∠BOD=2∠BCD=2×60°=120°，
∴在等腰△OBD中，∠OBD=30°，
在Rt△OBH中，∵∠OBH=30°，

∴，

∴

∴

∵四邊形ABCD是奇妙四邊形，

∴，

∴；

（3）．

理由如下：

連結OB、OC、OA、OD，作OE⊥AD于E，如圖3，
∵OE⊥AD，

∴在等腰△AOD中，，
又∵，
∴∠BOM=∠BAC，
同理可得∠AOE=∠ABD，
∵BD⊥AC，
∴∠BAC+∠ABD=90°，
∴∠BOM+∠AOE=90°，
∵∠BOM+∠OBM=90°，
∴∠OBM=∠/span>AOE，
在△BOM和△OAE中

∴，
∴OM=AE，
∴．