Question

（2013•同安區一模）如圖，在直角坐標系中，邊長為2的正方形OABC的兩邊分別在x 軸和y軸上，直線L經過點O并將正方形分為兩部分，它們的面積之比為m （m＜1）．
（1）當m=

1

2

時，求直線L與正方形相交的另一交點坐標；
（2）若直線L的解析式為y=kx且k=m+1，直線L與正方形的另一個交點為E，點P在線段OE上（不含兩端點），記W=-

S△PAB

S△POA

，求W的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當直線L與BC相交時，設交點D（a，2），則S_△DOC=a，S_{四邊形OABD}=S_{正方形OABC}-S_△ODC=4-a，再利用m=

1

2

時求出a的值，再利用對稱性得出另一點坐標；
（2）利用已知得出點E在BC上，設為（b，2），得出m與b的關系，進而得出m的值，得出D，E重合，由W=-

S△PAB

S△POA

，求出W的取值范圍．

解答：解：（1）如圖1，當直線L與BC相交時，設交點D（a，2），則
S_△DOC=a，S_{四邊形OABD}=S_{正方形OABC}-S_△ODC=4-a
∵

S△ODC

S四邊形OABD

=

a

4-a

=

1

2

∴a=

4

3

，即D（

4

3

，2），
當直線L與BC相交時，設交點D′，
依據正方形對稱性可得D′點坐標為：（2，

4

3

）；

（2）如圖2，
∵m＞0，k=m+1
∴k＞1，
∵y=kx
∴k=

y

x

＞1即y＞x
故點E在BC上，設為（b，2），
∴2=k•b，S_△EOC=b．
∴k=

2

b

，則

2

b

=m+1，
∴m=

2-b

b

，
∵

S△OEC

S四邊形OABE

=m，
∴

b

4-b

=

2-b

b

，
解得：b=

4

3

，
∴4-b=

8

3

，
∴m=

2- 4 3

4 3

=

1

2

，
即E與D重合．此時直線L的解析式為y=

3

2

x．
設P（c，d），則d=

3

2

c(0＜c＜

4

3

)，
W=-

S△PAB

S△POA

=-

2-c

d

=

c-2

3 2 c

=

2

3

(1-

2

c

)，
∵0＜c＜

4

3

∴-

2

c

＜-

3

2

，
∴

2

3

(1-

2

c

)＜-

1

3

即W＜-

1

3

．

點評：此題主要考查了一次函數的綜合應用以及正方形的性質和一次函數解析式求法和不等式的應用，利用面積關系得出m的值是解題關鍵．