Question

（2013•惠安縣質檢）如圖，已知Rt△ABC中，∠A=30°，AC=6．邊長為4的等邊△DEF沿射線AC運動（A、D、E、C四點共線）．

（1）當等邊△DEF的邊DF、EF與Rt△ABC的邊AB分別相交于點M、N（M、N不與A、B重合）時．
①試判定△FMN的形狀，并說明理由；
②若以點M為圓心，MN為半徑的圓與邊AC、EF同時相切，求此時MN的長．
（2）設AD=x，△ABC與△DEF重疊部分的面積為y，求y關于x的函數解析式，并寫出x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）①根據已知得出∠AMD=∠FDE-∠A=30°，進而得出∠MNF=90°，
②設DM=x，根據∠MDG=60°，得出MG=

3

2

x，進而得出MN=

3

2

MF，利用MG=MN，求出即可；
（2）分別根據當0＜x≤2時，S_{四邊形DENM}=S_△FDE-S_△FMN，②當2＜x＜4時，y_{五邊形DCPNM}=S_△DEF-S_△FMN-S_△PCE，
③如圖3，當4≤x＜6時，CD=6-x，y=S_△PCD，④當x≥6時，y=0，得出即可．

解答：解：（1）如圖1，①∵△DEF是等邊三角形，
∴∠FDE=∠F=60°．
∵∠A=30°，
∴∠AMD=∠FDE-∠A=30°，
∴∠FMN=∠AMD=30°，
∴∠MNF=90°，
即△FMN是直角三角形，
②如圖2，過點M作MG⊥AC于點G，
設DM=x，
∵∠MDG=60°，
∴MG=

3

2

x，
又∵△FMN是直角三角形，∠MFN=60°，
∴MN=

3

2

MF=

3

2

(4-x)，
∵以點M為圓心，MN為半徑的圓與邊AC、EF同時相切，
則有MG=MN，
即

3

2

x=

3

2

(4-x)，
解得：x=2．
∴圓的半徑MN=

3

2

(4-2)=

3

；

（2）∵∠AMD=∠A=30°，
∴DM=AD，
∴DM=AD=x，FM=4-x．
又∵△FMN是直角三角形，∠MFN=60°
∴MN=MF•sinF=（4-x）×

3

2

=

3

2

（4-x），
FN=

1

2

MF=

1

2

（4-x），
S_△FMN=

1

2

MN•FN=

1

2

×

3

2

（4-x）×

1

2

（4-x）=

3

8

（4-x）²．
①當0＜x≤2時，S_{四邊形DENM}=S_△FDE-S_△FMN=4

3

-

3

8

（4-x）²=-

3

8

x²+

3

x+2

3

，
②當2＜x＜4時，
CE=AE-AC=4+x-6=x-2．
∵∠BCE=90°，∠PEA=60°，
∴PC=

3

(x-2)，
∴S_△PCE=

1

2

×

3

（x-2）（x-2）=

3

2

（x-2）²．
∴y_{五邊形DCPNM}=S_△DEF-S_△FMN-S_△PCE=-

5

8

3

x2+3

3

x，
③如圖3，當4≤x＜6時，CD=6-x，
∵∠BCE=90°，∠PDC=60°，
∴PC=

3

(6-x)，
∴y=S_△PCD=

1

2

×

3

（6-x）（6-x）=

3

2

（6-x）²，
④當x≥6時 y=0．

點評：本題考查了圓的綜合題，涉及到直角三角形的性質、銳角三角函數的定義、三角形的面積等知識，難度適中，注意自變量x的取值范圍的分析與討論．