Question

已知反比例函數y₁=

k

x

的圖象經過點A（4，

1

2

），若一次函數y₂=x+1的圖象平移后經過該反比例函數圖象上的點B（2，m）
（1）求平移后的一次函數的解析式；
（2）若反比列函數y₁=

k

x

與一次函數y₂=x+1交于點C和D．求點C、D的坐標；
（3）問當x在什么范圍時y₁＞y₂；
（4）求△CDB的面積．

Answer 1

分析：（1）設平移后的一次函數關系式為y=x+b根據已知的點的坐標，代入函數關系式中，即可得處于函數式；將點B的坐標代入關系式中，可得出m的值，代入一次函數式中，可得到k，即可得出平移后的一次函數關系式；
（2）由可得出反比例函數的關系式，聯立兩方程即可得出C、D的坐標；
（3）根據函數圖象，即可求得答案；
（4）已知三點的坐標，利用兩點間的距離公式，得出其中一邊；再利用點到直線的距離，得出對應邊上的高，代入三角形的面積公式即可得出△CDB的面積．

解答：解：（1）設平移后的一次函數關系式為y=x+b；
根據題意，知反比例函數y₁=

k

x

的圖象經過點A（4，

1

2

），
即有

1

2

=

k

4

，即k=2，
即有y₁=

2

x

，
將B（2，m）代入上述關系式中，
可得m=1，
即B（2，1），代入y=x+b中，
得b=-1
即平移后的一次函數關系式為y=x-1；

（2）根據題意，

y1= 2 x y2=x+1

，
解之得x₁=1，y₁=2，
x₂=-2，y₂=-1，
即C（1，2）、D（-2，-1）；

（3）如圖：當x＜-2或0＜x＜1時，y₁＞y₂；

（4）有上可知點B（2，1）、C（1，2）、D（-2，-1），
即有CD=3

2

，
又∵點B到一次函數y₂=x+1的距離d=

2

，
即S_△CDB=

1

2

CD•d=3．

點評：本題主要考查待定系數法求函數解析式和函數交點坐標的求法，先利用反比例函數解析式求出m的值是解本題的關鍵；本題涉及知識點較多，難度稍大，綜合性較強，要注意對各個知識點的靈活應用．