Question

如下圖所示，二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為C(2，－1)，二次函數(shù)的圖象在x軸上截得的線段AB的長為2．

(1)求證：△ACB是等腰直角三角形；

(2)求二次函數(shù)的解析式；

(3)在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使△PAC是等腰三角形，若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，不能求出時，請給出橫縱坐標(biāo)的范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，∵AB＝2，點(diǎn)C坐標(biāo)為(2，－1)，由二次函數(shù)的對稱性可知A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(1，0)，B(3，0)，故DA＝DB＝DC＝1，∴△ACB是等腰直角三角形． 　　(2)設(shè)拋物線的解析式為y＝a(x－2)2－1，將(1，0)代入得a＝1，故y＝(x－2)2－1． 　　(3)在拋物線上存在四點(diǎn)P，使△PAC是等腰三角形．①當(dāng)AC為腰時，點(diǎn)B即為其中一個所求的點(diǎn)P3(3，0)，∵AC＝，∴以點(diǎn)A為圓心，以為半徑畫圓弧，它與拋物線必有交點(diǎn)P1，從圖形上可以看出P1(x0，y0)的坐標(biāo)滿足0＜x0＜1，1＜y0＜2．②當(dāng)AC為底時，作AC的垂直平分線P2P4，與拋物線交于P2，P4兩點(diǎn)，可得直線P2P4的解析式為y＝x－2．解直線與拋物線組成的方程組，可得P2(，)，P4(，)．

提示：

由拋物線的對稱軸易證△ACB是等腰直角三角形．最后一問是開放性探索題，滿足條件的P點(diǎn)有多個，可分AC為腰和AC為底兩種情形進(jìn)行求解．