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如圖,點D是⊙O的直徑CA延長線上一點,點B在⊙O上,且AB=AD=AO.
(1)求證:BD是⊙O的切線;
(2)若點E是劣弧BC上一點,AE與BC相交于點F,且△BEF的面積為8,cos∠BFA=,求△ACF的面積.
【答案】分析:(1)利用斜邊上的中線等于斜邊的一半,可判斷△DOB是直角三角形,則∠OBD=90°,BD是⊙O的切線;
(2)同弧所對的圓周角相等,可證明△ACF∽△BEF,得出一相似比,再利用三角形的面積比等于相似比的平方即可求解.
解答:(1)證明:連接BO,(1分)
方法一:∵AB=AD
∴∠D=∠ABD
∵AB=AO
∴∠ABO=∠AOB(2分)
又在△OBD中,∠D+∠DOB+∠ABO+∠ABD=180°
∴∠OBD=90°,即BD⊥BO
∴BD是⊙O的切線;(3分)
方法二:∵AB=AO,BO=AO
∴AB=AO=BO
∴△ABO為等邊三角形
∴∠BAO=∠ABO=60°
∵AB=AD
∴∠D=∠ABD
又∠D+∠ABD=∠BAO=60°
∴∠ABD=30°(2分)
∴∠OBD=∠ABD+∠ABO=90°,即BD⊥BO
∴BD是⊙O的切線;
方法三:∵AB=AD=AO
∴點O、B、D在以OD為直徑的⊙A上
∴∠OBD=90°,即BD⊥BO
∴BD是⊙O的切線;

(2)解:∵∠C=∠E,∠CAF=∠EBF
∴△ACF∽△BEF
∵AC是⊙O的直徑
∴∠ABC=90°
在Rt△BFA中,cos∠BFA=

又∵S△BEF=8
∴S△ACF=18.
點評:本題綜合考查了圓的切線的性質、圓的性質、相似三角形的判定及性質等內容,是一個綜合較強的題目,難度較大.
練習冊系列答案
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