Question

經過x軸上A（-1，0）、B（3，0）兩點的拋物線y=ax²+bx+c交y軸于點C，設拋物線的頂點為D，若以DB為直徑的⊙G經過點C，求解下列問題：

（1）用含a的代數式表示出C，D的坐標；
（2）求拋物線的解析式；
（3）如圖，當a＜0時，能否在拋物線上找到一點Q，使△BDQ為直角三角形？你能寫出Q點的坐標嗎？

Answer 1

解：（1）設拋物線的解析式為 則=a（x-1）2-4a 則點D的坐標為 點C的坐標為。
（2）過點D作DE⊥y軸于E，如圖①所示： 則有△DEC∽△COB ∴ ∴ ∴a2=1，a=±1 拋物線的解析式為y=x2-2x-3或y=-x2+2x+3。
（3）a＜0時，a=-1，拋物線y=-x2+2x+3， 這時可以找到點Q，很明顯，點C即在拋物線上， 又在⊙G上，∠BCD=90°，這時Q與C點重合，點Q坐標為Q（0，3） 如圖②，若∠DBQ為90°，作QF⊥y軸于F，DH⊥x軸于H 可證Rt△DHB∽Rt△BFQ 有 則點Q坐標（k，-k2+2k+3） 即 化簡為2k2-3k-9=0 即（k-3）（2k+3）=0 解之為k=3或k= 由k=得Q坐標：
如圖③，延長DQ交y軸于M，作DE⊥y軸于E，DH⊥x軸于H 可證明△DEM∽△DHB 即 則 得 點M的坐標為 DM所在的直線方程為 則與y=-x2+2x+3的解為 得交點坐標Q為 即滿足題意的Q點有三個：（0，3），。