Question

如圖，在直角坐標系中，以點A（，0）為圓心，以為半徑的圓與x軸交于B、C兩點，與y軸交于D、E兩點．
（1）求D點坐標．
（2）若B、C、D三點在拋物線y=ax²+bx+c上，求這個拋物線的解析式．
（3）若⊙A的切線交x軸正半軸于點M，交y軸負半軸于點N，切點為P，∠OMN=30°，試判斷直線MN是否經過所求拋物線的頂點？說明理由．

Answer 1

解：（1）連接AD，得
OA=，AD=2
∴OD===3
∴D（0，-3）．

（2）由B（-，0），C（3，0），D（0，-3）三點在拋物線y=ax²+bx+c上，
得，
解得
∴拋物線為．

（3）連接AP，在Rt△APM中，∠PMA=30°，AP=2
∴AM=4
∴M（5，0）
∵
∴N（0，-5）
設直線MN的解析式為y=kx+b，由于點M（5，0）和N（0，-5）在直線MN上，
則，
解得
∴直線MN的解析式為
∵拋物線的頂點坐標為（，-4），
當x=時，y=
∴點（，-4）在直線上，
即直線MN經過拋物線的頂點．
分析：（1）連接AD，構造直角三角形解答，在直角△ADO中，OA=，AD=2，根據勾股定理就可以求出AD的長，求出D的坐標．
（2）求出B、C、D的坐標，用待定系數法設出一般式解答；
（3）求出拋物線交點坐標，連接AP，則△APM是直角三角形，且AP等于圓的半徑，根據三角函數就可以求出AM的長，已知OA，就可以得到OM，則M點的坐標可以求出；同理可以在直角△BNM中，根據三角函數求出BN的長，求出N的坐標，根據待定系數法就可以求出直線MN的解析式．將交點坐標代入直線解析式驗證即可．
點評：此題將用待定系數法求函數解析式和圓以及存在性問題相結合，考查了同學們的實際應用能力，有一定難度．