Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分別為CB，CA延長線上的點，BE與AD的交點為P．
（1）若BD=AC，AE=CD，在如圖中畫出符合題意的圖形，并直接寫出∠APE的度數；
（2）若，，求∠APE的度數．

Answer 1

【答案】分析：（1）作EF等于且平行BD，則EP平行FD，∠APE=∠ADF，可證AD=AF（全等），然后可得△AFD為等腰直角三角形．
所以∠APE=∠ADF=45°． 
（2）此題有2種解法，解法一：如圖2，將AE平移到DF，連接BF，EF．則四邊形AEFD是平行四邊形，利用已知條件求證
△ACD∽△BDF．利用其對應邊成比例可得=，然后再利用在Rt△BEF中，即可求得答案．
解法二：如圖3，將CA平移到DF，連接AF，BF，EF．則四邊形ACDF是平行四邊形．根據∠C=90°，可得四邊形ACDF是矩形，分別求出tan∠3和tan∠1，再利用，求證△ADF∽△EBF利用等量代換即可求得答案．
解答：解：
（1）作EF等于且平行BD，則EP平行FD，
∴∠APE=∠ADF，
∴△ACD≌△AEF，
∴AD=AF，
∴△AFD為等腰直角三角形．
∴∠APE=45°．
答：∠APE的度數為45°．

（2）解法一：如圖2，
將AE平移到DF，連接BF，EF．
則四邊形AEFD是平行四邊形．
∴AD∥EF，AD=EF．
∵，，
∴，．
∴．
∵∠C=90°，
∴∠BDF=180°-∠C=90°．
∴∠C=∠BDF．
∴△ACD∽△BDF．
∴，∠1=∠2．
∴．
∵∠1+∠3=90°，
∴∠2+∠3=90°．
∴BF⊥AD．
∴BF⊥EF．
∴在Rt△BEF中，．
∴∠APE=∠BEF=30°．
解法二：如圖3，將CA平移到DF，
連接AF，BF，EF．
則四邊形ACDF是平行四邊形．
∵∠C=90°，
∴四邊形ACDF是矩形，
∠AFD=∠CAF=90°，∠3+∠2=90°．
∵在Rt△AEF中，，
在Rt△BDF中，，
∴∠4=∠2=30°．
∴∠3+∠2=∠4+∠2=90°，即∠EFB=90°．
∴∠AFD=∠EFB．
又∵，
∴△ADF∽△EBF．
∴∠1=∠5．
∵∠APE+∠1=∠4+∠5，
∴∠APE=∠4=30°．
答：∠APE的度數為30°．
點評：此題主要考查相似三角形的判定與性質和解直角三角形等知識點，綜合性較強，有一定的拔高難度，屬于難題．