Question

【題目】如圖所示，平面直角坐標系中直線交坐標軸于、兩點，拋物線經過、兩點，點坐標為．點為直線上一點，過點作軸的垂線，垂足為，交拋物線于點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）是否存在點，使得以點、、、為頂點的四邊形為平行四邊形，如果有，求點的坐標，如果沒有，請說明理由；

（3）若點在線段上移動時（不含端點），連接，求面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）拋物線為；（2）存在；點M的坐標為（3，4）或（，）或（，）；（3）當t=時，=為△CMF的面積最大值．

【解析】

（1）由圖形可得出點A、C的坐標，代入拋物線即可解得；

（2）假設存在，設M（t，t+1），則=t，解得DE=4，以D、E、M、N為頂點的的四邊形是平行四邊形，結合圖形DE∥MN且DE=MN，列出方程式，求解即可；

（3）過C作CH⊥MF交FM延長線于H，得到，代入數據得到關于x的二次函數式，利用最值問題即可得出結果．

（1）∵直線過點A，

∴點A的坐標為（-1，0），

把點C（，5）代入直線解析式，

∴=5-1=4，即點C（4，5），

把點A（-1，0），C（4，5）代入拋物線解析式得

，

解得，

∴拋物線的解析式為：，

故答案為：；

（2）假設存在，設M（t，t+1），則=t，

∴，

當x=0時，，點D（0，1）

∴DE=4，

∵DE∥MN，且D、E、M、N為頂點的的四邊形是平行四邊形，

∴DE=MN，

∴MN==4，

∴，

∴或，

解，得=0（舍）或=3；

解，得=或=，

∴綜上所述，點M的坐標為（3，4）或（，）或（，），

故答案為：存在；（3,4）或（，）或（，）；

（3）同（2）設M（t，t+1），

∵M在線段AC上，

∴-1<t<4，

過C作CH⊥MF交FM延長線于H，

，

=（t+1）（4-t），

=，

=，

當t=時，=為△CMF的面積最大值，

答：△CMF的面積最大值為，

故答案為：．