Question

如圖，在直角坐標系中，點A的坐標是（1，0），以OA為邊在第一象限內作正方形OABC，點D是x軸正半軸上一動點（OD＞1），連接BD，以BD為邊在第一象限內作正方形DBFE，設M為正方形DBFE的中心，直線MA交y軸于點N．
（1）△ABM與△OBD是否相似？請說明理由；
（2）點N的坐標是否隨動點D的變化而變化？如不變，求出點N的坐標；如改變，請說明理由；
（3）連接NB，△DBN能否是以DN為斜邊的直角三角形？如果能，請求出點E的坐標．

Answer 1

分析：（1）可根據正方形的性質，利用“SAS”證明相似；
（2）利用（1）中的相似三角形，證明角相等，從而可證△AON為等腰直角三角形，得出N點坐標；
（3）如果∠NBD=90°，可證△BCN≌△BAD，為求E點坐標，過E點作x軸的垂線，垂足為G，利用角的互余關系，可證△EDG≌△DBA，再求E點坐標．

解答：解：（1）△ABM∽△OBD．
證明：∵

OB

AB

=

BD

BM

=

2

，
∠OBD=∠ABM=135°，
∴△ABM∽△OBD．

（2）N點的坐標不變，是N（0，-1）；
證明：∵△ABM∽△OBD，
∴∠BAM=∠BOD=45°，∠OAN=180°-∠OAB-∠BAM=45°，
∴△OAN為等腰直角三角形，可證得ON=OA=1；

（3）△DBN可以是直角三角形．
過E點作x軸的垂線，垂足為G，當∠DBN=90°時，
∵∠CBN+∠NBA=90°，∠NBA+∠ABD=90°，
∴∠CBN=∠ABD，又BC=BA，∠C=∠BAD，
∴△BCN≌△BAD，
∴AD=CN=2，
易證△EDG≌△DBA，
∴DG=AB=1，EG=AD=2，故點E的坐標是（4，2）．

點評：本題考查了正方形的性質，全等三角形，相似三角形的判定及運用，點的坐標的求法，在變中尋找不變的量．