Question

一元二次方程8x²-（m-1）x+m-7=0，
（1）m為何實數時，方程的兩個根互為相反數？
（2）m為何實數時，方程的一個根為零？
（3）是否存在實數m，使方程的兩個根互為倒數？

Answer 1

分析：（1）當方程的兩個根互為相反數時，x₁+x₂=

m-1

8

=0，通過解此方程可以求得m的值；
（2）當方程的一根是零時，由根與系數的關系知x₁•x₂=0，據此列出關于m的方程，通過解方程即可求得m的值；
（3）當方程的兩個根互為倒數時，由根與系數的關系知x₁•x₂=1，據此列出關于m的方程，通過解方程即可求得m的值；然后通過根的判別式進行判斷是否存在這樣的實數m．

解答：解：（1）∵一元二次方程8x²-（m-1）x+m-7=0的兩個根互為相反數，
∴x₁+x₂=

m-1

8

=0，
解得m=1；

（2）∵一元二次方程8x²-（m-1）x+m-7=0的一個根為零，
∴x₁•x₂=

m-7

8

=0，
解得m=7；

（3）設存在實數m，使方程8x²-（m-1）x+m-7=0的兩個根互為倒數，則
x₁•x₂=

m-7

8

=1，
解得m=15；
則原方程為4x²-7x+4=0，
△=49-4×4×4=-15＜0，所以原方程無解，這與存在實數m，使方程8x²-（m-1）x+m-7=0有兩個根相矛盾．故不存在這樣的實數m．

點評：本題綜合考查了根與系數的關系、倒數與相反數的定義以及根的判別式．一元二次方程8x²-（m-1）x+m-7=0的m的取值受根的判別式的符號的限制．