Question

（2013•南昌模擬）如圖，?ABCD的頂點A，B，C都在⊙O上，AD與⊙O相切于點A，⊙O的半徑為4，設∠D=α，∠OBC=β
（1）若β=50°，則α=

70

度．
（2）猜想α與β之間的關系，并說明理由．
（3）若α=60°，請直接寫出?ABCD的面積．

Answer 1

分析：（1）設∠ABO=x°，則∠BAO=∠ABO=x°，根據∠BAD+∠ABC=180°即可列方程求得x的值，從而得到α的值；
（2）解法與（1）相同；
（3）根據（2）的結果求得β=30°，易證四邊形ABCD是菱形，作OE⊥AB于點E，利用三角函數以及垂徑定理即可求得四邊形的邊長，則面積可以求得．

解答：解：（1）設∠ABO=x°，
∵OA=OB，
∴∠BAO=∠ABO=x°，∠ABC=β+x=50+x°．
∵AD是圓的切線，
∴∠OAD=90°，則∠BAD=90+x°，
∵AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABC=180°，即50+x+（90+x）=180，
解得：x=20，
故∠ABC=50+20=70°，
又∵?ABCD中，α=∠ABC，
∴α=70°．

（2）同（1）設∠ABO=x°，則∠ABC=β+x°，∠BAD=90+x°，
則β+x+（90+x）=180，
即β+2x=90…①，
又∵α=∠ABC=β+x…②，
由①②可得：2α-β=90°；

（3）α=60°，則根據（2）得：β=30°，∠ABO=30°，
則△ABO≌△CBO，
∴AB=BC，則四邊形ABCD是菱形．
作OE⊥AB于點E．
在直角△OBE中，BE=OB•cos∠ABO=4×

3

2

=2

3

，
則AB=2BE=4

3

，
∴BC=AB=4

3

，
則S_?ABCD=AB•BC•sin∠ABC=4

3

×4

3

×

3

2

=24

3

．

點評：本題是平行四邊形的性質、三角函數以及垂徑定理的綜合應用，正確求得∠ABO的度數是關鍵．