Question

馬田同學將一張圓桌緊靠在矩形屋子的一角，與相鄰兩面墻相切，她把切點記為A、B，然后，她又在桌子邊緣上任取一點P（異于A、B），通過計算∠APB的度數，她驚奇的發現∠APB的度數的，正好都和她今天作業中的一條拋物線與x軸的交點的橫坐標完全相同，她作業中的那條拋物線還經過點C（10，17）．聰明的你：
（1）請你求出∠APB的度數；
（2）請你求出馬田同學作業中的那條拋物線的對稱軸方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）設圓桌所在圓的圓心為O，過切點的切線AC、BC交于C，P為異于A、B的圓周上的任意一點，由與點P的位置不能確定，故①當P在 上時，如圖中的P₁，連接AP₁、BP₁、AO、BO，由矩形的性質及圓周角定理可求出∠AP₁B=45°的度數；
②當P在上時，如圖中的P₂，連接AP₂、BP₂，由圓內接四邊形的性質可得出∠AP₂B的度數；
（2）由（1）中所知∠APB=45的度數可得出∠APB的值，再設出拋物線的解析式，把C點代入即可得出此解析式，再由拋物線的對稱軸方程即可得出結論．
解答：解：（1）設圓桌所在圓的圓心為O，過切點的切線AC、BC交于C，p為異于A、B的圓周上的任意一點．
當P在 上時，如圖中的P₁，連接AP₁、BP₁、AO、BO，
則OA⊥AC，OB⊥BC，BC⊥AC．
∴四邊形ACBO是矩形，
∴∠AOB=90°，
∴∠AP₁B=45°，
當P在 上時，如圖中的P₂，連接AP₂、BP₂，則∠AP₂B=180°-45°=135°；

（2）∵∠APB=45°或135°
∴，
依題意，9、27是所求拋物線與x軸交點的橫坐標，故可設所求的
拋物線的解析式為：y=a（x-9）（x-27）（a≠0）…10’
∵拋物線經過點C（10，17）
∴a（10-9）（10-27）=17
解之得：a=-1，
∴y=-（x-9）（x-27）即y=-x²+36x-243，
∴拋物線的對稱軸方程為x=-即x=18．
點評：本題考查的是二次函數綜合題及切線的性質、圓內接四邊形的性質、圓周角定理，根據題意作出輔助線，利用數形結合求解是解答此題的關鍵．