Question

在△ABC中，∠A=90°，點D在線段BC上，∠EDB=∠C，BE⊥DE，垂足為E，DE與AB相交于點F．
（1）當AB=AC時，（如圖1），
①∠EBF=______°；
②探究線段BE與FD的數量關系，并加以證明；
（2）當AB=kAC時（如圖2），求的值（用含k的式子表示）．

Answer 1

【答案】分析：（1）①根據題意可判斷△ABC為等腰直角三角形，據此即可推斷∠C=45°，進而可知∠EDB=22.5°．然后求出∠EBF的度數．
②根據題意證明△BEF∽△DEB，然后利用相似三角形的性質，得到BE與FD的數量關系．
（2）首先證明△GBN∽△FDN，利用三角形相似的性質得到BE與FD的數量關系．
解答：解：（1）①∵AB=AC∠A=90°
∴∠ABC=∠C=45°
∵∠EDB=∠C
∴∠EDB=22.5°
∵BE⊥DE
∴∠EBD=67.5°
∴∠EBF=67.5°-45°=22.5°
②在△BEF和△DEB中
∵∠BED=∠FEB=90°，∠EBF=∠EDB=22.5°
∴△BEF∽△DEB
如圖：作BG平分∠ABC，交DE于G點，
∴BG=GD，△BEG是等腰直角三角形
設EF=x，BE=y，
則：BG=GD=y
FD=y+y-x
∵△BEF∽△DEB
∴=
即：=
得：x=（-1）y
∴FD=y+y-（-1）y=2y
∴FD=2BE．

（2）過點D作DG∥AC，交BE的延長線于點G，與BA交于點N，
∵DG∥AC，
∴∠GDB=∠C，
∵∠EDB=∠C，
∴∠EDB=∠GDE，
∵BE⊥DE，
∴∠BED=∠DEG，
DE=DE，
∴△DEG≌△DEB，
∴BE=GB，∠BND=∠GNB=90°，∠EBF=∠NDF，
∴△GBN∽△FDN，
∴=，即=，
又∵DG∥AC，
∴△BND∽△BAC，
∴=，即==k，
∴=．
點評：本題考查的是相似三角形的判定與性質，（1）利用等腰直角三角形的性質進行判定和計算．（2）結合圖形利用三角函數和相似三角形進行計算求出線段間的關系．