Question

正方形ABCD的邊長為a，等腰直角三角形FAE的斜邊AE=b（b＜2a），且邊AD和AE在同一直線上．小明發現：當b=a時，如圖①，在BA上選取中點G，連接FG和CG，裁掉△FAG和△CBG的位置構成正方形FGCH．
（1）類比小明的剪拼方法，請你就圖②和圖③兩種情形分別畫出剪拼成一個新正方形的示意圖．
（2）要使（1）中所剪拼的新圖形是正方形，須滿足

BG

AE

=

 

Answer 1

分析：（1）觀察圖①，此題的作圖依據是將△FAG旋轉到△FDH的位置，而△BCG旋轉到DCH的位置，可據此進行作圖．
（2）圖①的結論顯然易見；圖②③中，可根據b、a、AG、BG的大小關系來解答．

解答：解：（1）如圖所示：

（2）如圖，
∵△FAE是等腰直角三角形，
∴∠FAE=∠FEA=45°，
∴∠FAB=∠FEH=135°，
∵∠AFG+∠GFE=∠HFE+∠GFH=90°，
∴∠AFG=∠HFE，
在△FAG與△FEH中，

∠FAG=∠FEH AF=EF ∠AFG=∠HFE

∴△FAG≌△FEH，
同理可證，△BGC≌△DHC；
得：BG=DH，AG=EH；
由于AE+EH-DH=AD，即b+AG-BG=a，而AG+BG=a；
∴2BG=b，即

BG

AE

=

1

2

．

點評：此題主要考查的是圖形的旋轉變換以及正方形的性質，理解旋轉前后的圖形是全等形，是解決此類問題的關鍵．