Question

已知關于x的一元二次方程x²-2kx+k²-2=0.

    (1)求證:不論k為何值,方程總有兩不相等實數根.

    (2)設x₁,x₂是方程的根,且 x₁²-2kx₁+2x₁x₂=5,求k的值.

 

Answer 1

【答案】

(1)證明見解析(2)

【解析】本題主要考查了根與系數的關系. （1）要保證方程總有兩個不相等的實數根，就必須使△＞0恒成立；（2）欲求k的值，先把此代數式變形為兩根之積或兩根之和的形式，代入數值計算即可．

解：（1）已知關于x的一元二次方程x²-2kx+k²-2=0，

∴△=（-2k）²-4×（k²-2）=2k²+8，

∵2k²+8＞0恒成立，

∴不論k取何值，方程總有兩個不相等的實數根．

（2）∵x₁、x₂是方程的兩個根，

∴x₁+x₂=2k，x₁•x₂=k²-2，

∴x₁²-2kx₁+2x₁x₂=x₁²-（x₁+x₂）x₁+2x₁x₂=x₁x₂=k²-2=5，

解得k=±．