Question

【題目】如圖，O是坐標原點，過點A(﹣1，0)的拋物線y＝x2﹣bx﹣3與x軸的另一個交點為B，與y軸交于點C，其頂點為D點．

(1)求b的值以及點D的坐標；

(2)連接BC、BD、CD，在x軸上是否存在點P，使得以A、C、P為頂點的三角形與△BCD相似？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）b=2; D（1，﹣4）．(2) 點P的坐標（0，0）（9，0）．

【解析】

（1）根據待定系數法，可得函數解析式，根據配方法，可得頂點坐標；

（2）根據相似三角形的性質，可得AP的長，根據線段的和差，可得P點坐標．

解：（1）把A（﹣1，0）代入y＝x2﹣bx﹣3，得1+b﹣3＝0，

解得b＝2．y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，

∴D（1，﹣4）．

（2）如圖，當y＝0時，x2﹣2x﹣3＝0，

解得x1＝﹣1，x2＝3，即A（﹣1，0），B（3，0），D（1，﹣4）．

由勾股定理，得BC2＝18，CD2＝1+1＝2，BD2＝22+16＝20，BC2+CD2＝BD2，∠BCD＝90°，

①當△APC∽△DCB時，，即，解得AP＝1，即P（0，0）．

②當△ACP∽△DCB時，，即，解得AP＝10，即P′（9，0）．

綜上所述：點P的坐標（0，0）（9，0）．