Question

如圖，在△ABC中，∠C=120°，AC=BC，AB=4，半圓的圓心O在AB上，且與AC，BC分別相切于點D，E．
（1）求半圓O的半徑；
（2）求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

分析：（1）連接OC，OD，OE，根據切線的性質得到OD⊥AC，在直角△AOD中，用30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，可以求出半圓的半徑．
（2）先在直角△AOC中求出OC的長，計算出△ABC的面積，然后用三角形的面積減去半圓的面積得到陰影部分的面積．

解答：（1）解：連接OD，OC，OE，
∵半圓與AC，BC分別相切于點D，E．
∴OD⊥AC，OE⊥BC，
∴OD=OE，
∴OC是∠ACB的角平分線，
∵AC=BC，
∴CO⊥AB且O是AB的中點．
∴AO=

1

2

AB=2．
∵∠C=120°，∴∠DCO=60°．
∴∠A=30°．
∴在Rt△AOD中，OD=

1

2

AO=1．
即半圓的半徑為1．

（2）設CO=x，則在Rt△AOC中，因為∠A=30°，所以AC=2x，由勾股定理得：AC²-OC²=AO²
即（2x）²-x²=2²
解得x=

2 3

3

（x=-

2 3

3

舍去）
∴S△ABC=

1

2

AB•OC=

1

2

×4×

2 3

3

=

4 3

3

．
∵半圓的半徑為1，
∴半圓的面積為

π

2

，
∴S陰影=

4 3

3

-

π

2

=

8 3 -3π

6

．

點評：本題考查的是扇形面積的計算，（1）根據切線的性質得到直角三角形，在直角三角形中用30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出半圓的半徑．（2）先計算出三角形的面積，再用三角形的面積減去半圓的面積得到陰影部分的面積．