Question

（2008•昌平區二模）已知點H（-1，2）在二次函數y=x²-2x+m的圖象C₁上．
（1）求m的值；
（2）若拋物線C₂：y=ax²+bx+c與拋物線C₁關于y軸對稱，且Q₁（-2，q₁）、Q₂（-3，q₂）在拋物線C₂上，則q_1＜q₂（用“=”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”填空．）
（3）設拋物線C₂的頂點為M，拋物線C₁的頂點為N，請問在拋物線C₁或C₂上是否存在點P，使以點P、M、N為頂點的三角形是直角三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）小題把H的坐標代入二次函數的解析式即可求出m；
（2）小題是根據關于Y軸對稱，就能求出拋物線C₂的解析式，圖象被對稱軸分成兩部分，根據其增減性就能判斷q₁ q₂的大小；（3）小題先求出M N的坐標，通過分類討論（1）（2）（3）就可求出P點的坐標．
解答：解：（1）∵點H（-1，2）在拋物線y=x²-2x+m上，
∴2=（-1）²-2×（-1）+m，
∴m=-1，
（2）q₁＜q₂ 
由（1）知，C₁：y=x²-2x-1=（x²-2x+1-1）-1=（x-1）²-2，
∴C₁的對稱軸為：直線x=1，頂點坐標為：（1，-2），
∵拋物線C₂：y=x²+bx+c與C₁：y=x²-2x-1關于y軸對稱，
∴C₂的解析式為：y=（x+1）²-2，
即：y=x²+2x-1，
又∵Q₁（-2，q₁），Q₂（-3，q₂）在拋物線C₂上，且在對稱軸x=-1的左側，
∴q₁＜q₂，
（3）存在這樣的點P，使以P，M，N為頂點的三角形是直角三角形．
由上述可知：M（-1，-2），N（1，-2），
第一種情況：當M為直角頂點時，點P在C₁上，
            當x=-1時，y=2，
∴P（-1，2），
第二種情況：當N為直角頂點時，
            點P在C₂上，
            當x=1時，y=2，
∴P（1，2），
第三種情況：當P為直角頂點時，
           P（0，-1），
綜上可知：點P的坐標為（-1，2）或（1，2）或（0，-1）．
點評：解此題的關鍵是能利用已知點的坐標和對稱性求拋物線的解析式，并能根據圖象的增減性判斷q₁ q₂的大小．難點是（3）小題的分類討論．題型較好，有一定難度．