Question

（1）觀察與發現：將矩形紙片AOCB折疊，使點C與點A重合，點B落在點B′處（如圖），折痕為EF、小明發現△AEF為等腰三角形，你同意嗎？請說明理由．

（2）實踐與應用：以點O為坐標原點，分別以矩形的邊OC、OA為x軸、y軸建立如圖所示的直角坐標系，若頂點B的坐標為（9，3），請求出折痕EF的長及EF所在直線的函數關系式．

Answer 1

分析：（1）同意．根據∠AEF=∠EFC=∠EFA得AE=AF．
（2）作EG⊥OC于點G．則EG=3，求FG的長即可得EF的長．FG=OG-OF=AE-OF=AF-OF，設OF=x，則AF=FC=9-x．在△AOF中根據勾股定理求OF、AF，從而可求FG求解；根據E、F的坐標可求直線EF的解析式．

解答：解：（1）同意．
理由：∵AB∥x軸，∴∠AEF=∠EFC．
根據折疊性質，有∠AFE=∠EFC．
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF．
∴△AEF為等腰三角形．

（2）過點E作EG⊥OC于點G．
設OF=x，則CF=9-x；
由折疊可知：AF=9-x．
在Rt△AOF中，AF²=AO²+OF²
∴3²+x²=（9-x）²，∴x=4，9-x=5．
∴AE=AF=5，
∴FG=OG-OF=5-4=1．
在Rt△EFG中，
EF²=EG²+FG²=10，
∴EF=

10

．
設直線EF的解析式為y=kx+b（k≠0），
∵點E（5，3）和點F（4，0）在直線EF上，
∴3=5k+b，0=4k+b，
解得k=3，b=-12．
∴y=3x-12．

點評：此題通過圖形的折疊變換考查解直角三角形和一次函數等知識點，綜合性較強．