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已知,如圖,AB是⊙O的直徑,C是⊙O上一點,連接AC,過點C作直線CD⊥AB于D(AD<DB),點E是DB上任意一點(點D、B除外),直線CE交⊙O于點F,連接AF與直線CD交于點G.
(1)求證:AC2=AG•AF;
(2)若點E是AD(點A除外)上任意一點,上述結論是否仍然成立?若成立,請畫出圖形并給予證明;若不成立,請說明理由.

【答案】分析:(1)欲證AC2=AG•AF,即證AC:AG=AF:AC,可以通過證明△AGC∽△ACF得到.
(2)分清E點在AD上有兩種情況,然后逐一證明.
解答:(1)證明:連接CB,
∵AB是直徑,CD⊥AB,
∴∠ACB=∠ADC=90°,又∠CAD=∠BAC,
∴△CAD∽△BAC,
∴∠ACD=∠ABC,
∵∠ABC=∠AFC,
∴∠ACD=∠AFC,∠CAG=∠FAC,
∴△ACG∽△AFC,

∴AC2=AG•AF;

(2)解:當點E是AD(點A除外)上任意一點,上述結論仍成立
①當點E與點D重合時,F(xiàn)與G重合,如圖所示:
有AG=AF,∵CD⊥AB,
,AC=AF,
∴AC2=AG•AF
②當點E與點D不重合時(不含點A)時,如圖所示:

證明類似(1).
點評:考查相似三角形的判定方法及圓周角定理的綜合運用.
練習冊系列答案
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22、已知:如圖,AB是⊙O的直徑,BC是和⊙O相切于點B的切線,⊙O的弦AD平行于OC.
求證:DC是⊙O的切線.

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(1)求證:DC是⊙O的切線;
(2)如果DM=15,CE=10,cos∠AEM=
513
,求⊙O半徑的長.

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AD
的中點,連接BE交AC于點G,BG的垂直平分線CF交BG于H交AB于F點.
(1)求證:BC是⊙O的切線;
(2)若AB=8,BC=6,求BE的長.

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已知:如圖,AB是⊙O的直徑,BC為⊙O的切線,過點B的弦BD⊥OC交⊙O于點D,垂足為E.
(1)求證:CD是⊙O的切線;
(2)當BC=BD,且BD=12cm時,求圖中陰影部分的面積(結果不取近似值).

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同步練習冊答案
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