Question

已知如圖，拋物線t=ax²+bx+c與x軸相交于B（1，0）、C（4，0）兩點，與y軸的正半軸相交于A點，過A、B、C三點的⊙P與y軸相切于點A，M為y軸負半軸上的一個動點，直線MB交拋物線于N，交⊙P于D．
（1）填空：A點坐標是

 

，⊙P半徑的長是

 

，a=

 

，b=

 

，c=

 

；
（2）若S_△BNC：S_△AOB=15：2，求N點的坐標；
（3）若△AOB與以A、B、D為頂點的三角形相似，求MB•MD的值．

Answer 1

分析：（1）先將B、C兩點坐標代入拋物線方程，再根據題意求得⊙P半徑，進而求得拋物線方程；
（2）根據S_△BNC：S_△AOB=15：2求出N點的y坐標，將y_N代入拋物線方程即可求得N點坐標；
（3）根據三角形相似的性質和射影定理便可求得MB•MD的值．

解答：解：（1）將B（1，0）、C（4，0）兩點坐標代入拋物線t=ax²+bx+c得：

a+b+c=0 16a+4b+c=0

解得

b=-5a c=4a

            ①
由題意可知：PA=PB=PC，且PA⊥y軸，
設P點坐標為P（2.5，y_A ），由題意可知PA=PB=PC=2.5，
根據勾股定理可求得y_A=2，
∴A點坐標是（0，2），⊙P半徑為的長為2.5，
將A點坐標代入拋物線方程可得2=c，
聯立①式便可解得a=0.5，b=-2.5，c=2．
∴拋物線的方程為t=0.5x²-2.5x+2，
故答案為：（0，2），2.5，0.5，-2.5，2；

（2）S_△BNC：S_△AOB=

1 2 × BC×yN

1 2 ×OB×OA

=

3× yN

1×2

=

15

2

，
解得y_N=5，
將y_N=5代入拋物線的方程t=0.5x²-2.5x+2得：x₁=-1，x₂=6，
觀察圖形可知x₂=6符合題意，
∴N點的坐標為N（6，5）；

（3）由題意可知△AOB∽△DBA，

AB

DA

=

AO

DB

=

OB

BA

，
∵OA=2，OB=1，
由勾股定理可知AB=

5

，根據三角形相似可知BD=2

5

，
由射影定理可知：AB²=MB×BD，
(

5

)2 =MB×2

5

，
解得MB=

5

2

，MD=MB+BD=

5 5

2

，
∴MB•MD=

5

2

×

5 5

2

=

25

4

．

點評：本題是二次函數的綜合題，其中涉及到的知識點有拋物線的公式的求法和三角形的相似的性質和射影定理等知識點，是各地中考的熱點和難點，同學們要加強訓練，屬于中檔題．