Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于點A（-1，0），點B（3，0），與y軸交于點C，線段BC與拋物線的對稱軸交于點E、P為線段BC上的一點（不與點B、C重合），過點P作PF∥y軸交拋物線于點F，連結DF．設點P的橫坐標為m．

（1）求此拋物線所對應的函數表達式．

（2）求PF的長度，用含m的代數式表示．

（3）當四邊形PEDF為平行四邊形時，求m的值．

Answer 1

【答案】（1）y=-x2+2x+3；（2）-m2+3m．（3）2.

【解析】

試題分析：（1）根據待定系數法，可得函數解析式；

（2）根據自變量與函數值的對應關系，可得C點坐標，根據平行于y軸的直線上兩點之間的距離是較大的縱坐標減較的縱坐標，可得答案；

（3）根據自變量與函數值的對應關系，可得F點坐標，根據平行于y軸的直線上兩點之間的距離是較大的縱坐標減較的縱坐標，可得DE的長，根據平行四邊形的對邊相等，可得關于m的方程，根據解方程，可得m的值．

試題解析：（1）∵點A（-1，0），點B（3，0）在拋物線y=-x2+bx+c上，

∴，解得，

此拋物線所對應的函數表達式y=-x2+2x+3；

（2）∵此拋物線所對應的函數表達式y=-x2+2x+3，

∴C（0，3）．

設BC所在的直線的函數解析式為y=kx+b，將B、C點的坐標代入函數解析式，得

，解得，

即BC的函數解析式為y=-x+3．

由P在BC上，F在拋物線上，得

P（m，-m+3），F（m，-m2+2m+3）．

PF=-m2+2m+3-（-m+3）=-m2+3m．

（3）如圖

，

∵此拋物線所對應的函數表達式y=-x2+2x+3，

∴D（1，4）．

∵線段BC與拋物線的對稱軸交于點E，

當x=1時，y=-x+3=2，

∴E（1，2），

∴DE=4-2=2．

由四邊形PEDF為平行四邊形，得

PF=DE，即-m2+3m=2，

解得m1=1，m2=2．

當m=1時，線段PF與DE重合，m=1（不符合題意，舍）．

當m=2時，四邊形PEDF為平行四邊形．